Объявление массива матлаб. Одномерные массивы MATLAB. Применение функций обработки данных к векторам

Вычисление числа размерностей массива

Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims :

> > M = rand(2: 3: 4: 5):

> > ndims(M)

Ans =

Вычисление размера размерности массива

Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size :

• М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;

Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е.size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.

Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray.

• = size(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;
• D = size (А) , для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;
• = size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.

Перестановки размерностей массивов

Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:

• permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;
• ipermute(A, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A

Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size :

> > A = [ 1 2: 3 4 ]:

> > B = [ 5 6 ; 7 8 ];

> > C = [ 9 10 ; 11 12 ];

> > D = cat(3 .A,B.C)

D(:,:, 1) =

1 2

3 4

9 10

11 12

> > size(D)

Ans =

2 2 3

> > size(permute(D.[ 3 2 1 ]))

Ans =

3 2 2

> > size(ipermute(D.[ 2 1 3 ]))

Применение массивов позволяет обращаться к нескольким ячейкам памяти, используя одно имя. Рассмотрим, как в системе MATLAB формируются и описываются одно-, двух- и многомерные массивы и покажем, как осуществлять вычисления с массивами.

Одномерные массивы. Часто бывает необходимо хранить в памяти компьютера большой набор данных, имеющих характеристики, такой, например, как множество оценок, полученных учениками на зачете. Создавая массив, вместо того, чтобы давать каждой ячейке памяти, используемой для хранения одного элемента данных, отдельное имя, всей последовательности ячеек дается одно имя. Конкретный элемент данных определяется по его расположению в последовательности. Для формирования такого массива используют операцию конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Например, операция

формирует массив чисел, который на экране отобразится следующим образом:

Числовые массивы являются элементами типа double. В качестве элементов массива могут использоваться любые переменные типа double, т.е. вещественные или комплексные числа, а также переменные, которые сами являются массивами. Для доступа к конкретному элементу или компоненте массива требуется некоторая дополнительная информация. Такая информация предоставляется индексным выражением массива. Для обращения к какому-либо элементу массива используется операция индексации, которая обозначается круглыми скобками:

Если требуется, например, присвоить второму элементу массива новое значение, то к нему надо применить одновременно операции индексации и присваивания.

Теперь массив a будет иметь следующий вид:

Выполнив функцию length (имя), можно узнать, из скольких элементов состоит массив с указанным именем. Например:

>> length(a)

Присвоив несуществующему четвертому элементу, значение типа double, получим массив, увеличившийся на один элемент:

Если же присвоить значение типа double, например, восьмому элементу, то все элементы с номерами в диапазоне от 4 до 8 будут иметь значения ноль.

>> a

a = 2 93 6 1 0 0 0 5

Рассмотрим другой способ создания массивов с помощью функций ones и zeros, которые сразу создают массив нужного размера, заполненный, соответственно, единицами (ones) или нулями (zeros). Например, для создания массива а, можно вначале вызвать функцию ones:

>> a=ones(1,3)

а затем с помощью операций индексации и присваивания постепенно создавать массив:

>> a(2)=93;

Наконец, последний способ создания одномерных масс основан на применении операции «:». Эта операция применяется в том случае, когда необходимо создать массив чисел, изменяющихся с заданным шагам по мере увеличения индекса. Например, необходимо создать массив чисел в интервале от 3 до 17 с шагом 0,7. Выражение будет иметь следующий вид:

>> b=3:0.7:17

b = Columns 1 through 7

3.0000 3.7000 4.4000 5.1000 5.8000 6.5000 7.2000

Columns 8 through 14

7.9000 8.6000 9.3000 10.0000 10.7000 11.4000 12.1000

Columns 15 through 21

12.8000 13.5000 14.2000 14.9000 15.6000 16.3000 17.0000

Двумерные массивы. Массивы такого типа подобны одномерным, за исключением того, что их элементы определяются не одним индексом, а двумя. В математике подобные массивы называют матрицами, состоящими из строк и столбцов. Любая строка (или столбец) в матрице является одномерным массивом, который принято называть вектор - строкой или вектор - столбцом соответственно. Формирование матрицы осуществляется операцией конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Ниже показано, как формируется двухмерный массив с помощью операции вертикальной конкатенации. При этом элементы каждой последующей строки массива отделяются от предыдущей точкой с запятой, в то время как элементы той же строки разделяются запятыми, либо пробелами:

>> c=

Эту же матрицу можно сформировать горизонтальной конкатенацией вектор - столбцов;

>> c=[,]

Элементы матрицы можно также задавать с помощью функции cat, аргументы которой заключаются в круглые скобки. Для вертикальной конкатенации ее первый аргумент равен 1:

>> c=cat(1,,,)

а для горизонтальной - равен 2:

>> c=cat(2,,)

Размер созданного массива можно узнать с помощью функции size:

Результатом этой функции является пара чисел, причем первое из них - количество строк, а второе-количество столбцов. Ниже приведен пример применения функции size к переменной, которая состоит из одного числа:

Отсюда видно, что в системе MATLAB все переменные типа double представляются в виде двухмерных массивов, а именно: векторы - в виде двухмерных массивов, размер которых по одному из направлений равен единице; матрицы - в виде двухмерных массивов размера m x n; скаляры - в виде двухмерных массивов размером 1x1.

Существует также пустой массив, обозначаемый квадратными скобками , между которыми: ничего нет. Такой массив трактуется как матрица размером 0x0. Обычно пустой массив используют для того, чтобы удалять строки или столбцы матриц. Например:

>> A=

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> A(3,:)=

Информацию обо всех созданных массивах в текущем рабочем пространстве можно получить, выполнив команду whos, например:

Name Size Bytes Class

A 2x3 48 double array

a 1x4 32 double array

ans 1x2 16 double array

b 1x21 168 double array

c 3x2 48 double array

d 1x1 8 double array

В системе MATLAB существует операция транспонирования, которая обозначается знаком «"» (апостроф). Ниже приведен пример транспонирования заданной матрицы А:

>> A=

A =1 2 34 5 67 8 9

ans =1 4 7 2 5 8 3 6 9

В результате применения операции транспонирования к вектор - строке получается вектор-столбец, и наоборот. В представленном ниже примере эти действия наглядно проиллюстрированы:

>> a=

Многомерные числовые массивы. Многомерными называются массивы с размерностью больше двух. Для вызова элемента такого массива требуются три или более индексов, указывающих расположение требуемого элемента в нескольких направлениях.

Формирование многомерных массивов осуществляется аналогично работе с одно- и двухмерными массивами при помощи функций ones, zeros или cat. Таким образом, сначала формируется массив нулей или единиц заданного размера, затем с помощью операций индексации и присваивания можно получить нужный числовой массив.

Следующий пример наглядно иллюстрирует использование этих функций для создания многомерного числового массива.

Рисунок - Схематическое изображение трехмерного массива

Пусть в некотором городе в течение десяти лет каждый месяц ежедневно измеряется дневная температура, и все результаты за один год заносятся в прямоугольную таблицу. Тогда по истечении десяти лет получится десять двухмерных таблиц. Для того чтобы упорядочить все эти данные, удобно расположить таблицы в одном направлении и пронумеровать их. Таким образом получился трехмерный массив Т1.

Для его формирования в системе MATLAB необходимо сначала выполнить функцию ones или zeros:

>> T1=ones(M,N,L)

где М,N,L - размеры трехмерного массива по трем направлениям.

В данном примере М=12 (количество месяцев в году), N=31 (максимальное количество дней в месяце), L=10 (количество лет, в течение которых производятся: измерения). Т.е. функция будет иметь вид:

>> T1=ones(12,31,10)

>> T1=zeros(12,31,10);

Затем с помощью операций индексации и присваивания можно задать значение каждого элемента

>> T1(1,1,1)=-5;T1(2,1,1)=-20;...T1(12,31,10)=-9;

Необходимо отметить, что при помощи функций ones и zeros можно формировать только одно-, двух- и трехмерные массивы.

Пусть в трехмерном массиве Т2 собраны данные такого же типа, что и в Т1, но для другого города. После объединения данных обоих массивов в одно целое можно получить четырехмерный массив Т. Для его создания следует использовать второй способ выполнения операции конкатенации - с помощью функции cat:

T=cat (4, T1, T2)

где число 4 - номер направления, вдоль которого осуществляется конкатенация.

Для конкатенации вдоль пятого направления (измерения), например, если собраны данные по городам из разных стран, надо сначала создать четырехмерный массив C (для городов из другой страны), а затем объединить его с массивом Т:

Такая операция возможна, если размерности массивов Т и C совпадают. В противном случае программа выдаст на экран сообщение об ошибке. Созданный массив A можно изменять при помощи функций, представленных ниже.

reshape (X,m,n) - формирует матрицу размера m x n из элементов объекта X. Пример.

>> X=

X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

>> B=reshape(X,3,4)

B = 1 10 8 6 4 2 11 9 7 5 3 122

rref (X) - приводит матрицу X к треугольной форме методом Гаусса. Пример.

>> X=;

>> R=rref(X)

R = 1 0 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0

Операция двоеточие

В предыдущем разделе эта операция использовалась для создания массива с заданным шагом:

<НЗМ>:<Шаг>:<КЗМ>

где <НЗМ> - начальное значение массива; <КЗМ> - конечное значение массива.

При таком задании массивов действуют следующие правила:

Если шаг не задан, то он принимается равным 1 либо -1, в соответствии с указанными правилами. Например:

>> 1:7

ans = 1 2 3 4 5 6 7

>> 11:-3:2

ans = 11 8 5 2

Выражения с оператором «;» могут также использоваться в качестве аргументов функций для получения множества значений этих функций. Например, в приведенном ниже примере вычислены функции Бесселя порядка от 0 до 3 со значением аргумента х=0.5.

>> B=bessel(0:3,x)

0.9385 0.2423 0.0306 0.0026

В следующем примере показано, как создать матрицу размером 2x3, используя оператор «;».

>> A=

Этот оператор можно использовать также для индексации элементов имеющегося массива, например:

Таким образом, операция «;» является очень удобным средством для задания последовательности чисел и индексации массивов.

ТЕМА 5. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Современные математические модели являются сложными и для выполнения расчетов по ним необходимо использовать ЭВМ. Поэтому алгоритмы или методы расчета, приведенные в предыдущей главе, следует перевести на какой-либо язык программирования. В настоящее время для научных разработок популярными являются языки типа ФОРТРАН, СИ, ПАСКАЛЬ. Но для широкого круга пользователей эти языки считаются сложными и поэтому большое распространение получили более понятные специалистам предметной области системы типа EXCEL, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.д. Мы будем ориентироваться на систему MATLAB, которая используется на лабораторных работах данного учебного курса.
^ 5.1 Краткая характеристика MATLAB
Система MATLAB (сокращение от MATrix LABoratory – МАТричная ЛАБоратория) разработана фирмой The MathWorks, Inc. (США, г. Нейтик, штат Массачусетс) и является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, которая ориентирована на работу с массивами данных, позволяет обращения к программам, написанным на языках Fortran, C ++ . Система поддерживает выполнение операций с векторами, матрицами и массивами данных, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение дифференциальных и разностных уравнений, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации и т.д., а также построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня.

Операционная среда системы MATLAB включает командное окно, инструментальную панель, подсистемы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов и др. Пользователь может сам написать программы с помощью редактора М-файлов, которые оформляются в виде М-файлов (М-файлы имеют расширение .m ). Каждую программу необходимо создавать, редактировать (т.е. корректировать) и выполнять (т.е. производить расчет).

Для создания новой программы в меню ^ File выбираются опция New и затем M-File; в результате открывается окно редактора М-файлов. В этом окне набирается текст программы. После того как этот текст набран следует сохранить программу с каким-либо именем (для этого в меню File выбирается опция Save as ).

Для выполнения программы следует перейти в командное окно и в командной строке, обозначаемой на экране символами >> набрать имя М-файла.

Для редактирования уже созданного М-файла надо из командного окна вернуться в окно редактора с текстом программы.

^

Формирование массивов в системе MATLAB

В системе MATLAB основным объектом являются массивы (матрицы и вектора), для которых не требуются явно указывать размерности. Для формирования числового массива числа указываются внутри квадратных скобок, разделитель между числами – пробелы. Для отделения строк матриц используется символ ; . Пример .

Матрица А = из 3 линий и 2 столбцов записывается в виде: А = .

Для формирования массивов используется символ : . Пример .

Задать вектор С , состоящий из чисел от 0 до 0,5 с шагом 0,1: С = 0: 0.1: 0.5. На экране появится строка:

С = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Если шаг равен 1, то он не задается, например, для задания вектора В, состоящего из чисел 3, 4, 5, 6, 7, можно записать: В = 3: 7. Тогда на экране появится:

В = 3 4 5 6 7
Символ : используется также для выделения подблоки массива. Пример. Выделить у матрицы А = первый столбец: А (: , 1).
Массивы можно объединять. Пусть x = 1, 2, 3, 4, а y = 5, 6, 7, 8. Тогда фрагмент программы для формирования объединенного массива z будет следующий:

x = 1:4;

y = 5:8;

z = [x; y ]

на экране появится: z =

Арифметические операции. Используются арифметические операторы сложения + , вычитания – , умножения * , деления / , возведения в степень ^.

p1 ) . ′ поэлементное транспонирование (строки заменяются столбцами, для комплексных

матриц комплексное сопряжение не выполняется).

Например, пусть A = , тогда A. ′ = .

p1 ) .^ поэлементное возведение в степень, А. ^B.

Например, пусть A = , тогда A. ^2 =
.

p1 ) ′ - транспонирование матрицы. Для комплексных матриц транспонирование дополняется

комплексным сопряжением.

Например пусть A = , тогда А′ =
.

p1 ) ^ возведение матрицы в степень, А^р (только для квадратных матриц и для целых чисел p). Например, пусть матрица A =
. Тогда A^2 =

p2 ) .* поэлементное перемножение двух массивов одинакового размера.
Например, пусть A =
B =
, тогда А. *В =

На скаляр умножаются все элементы массива, например, пусть A = . Вычислить F =3*A. Получим F =
.
p2 ) * умножение матриц, А*В.

Например, пусть A = B = . Тогда А *В =
.
p2 ) ./ поэлементное деление массивов. Массивы должны быть одинаковых размеров или массив делится на скаляр. Например, пусть A = . Тогда B./ 3 = .
p3 ) + сложение и - вычитание для скаляров, векторов и матриц.

Например, пусть A =
и B =
. Тогда А - В =
.

PS: Операции типа p1 выполняются раньше, чем p2, а p2 раньше, чем p3. Внутри каждого уровня приоритет одинаковый, вычисления выполняются слева-направо. Можно ставить круглые скобки, чтобы определить необходимый порядок операций

^

Некоторые специальные символы

() - указание последовательности выполнения операций. Примеры:

a) задать массив x от 0 до 3 с шагом 0.1 и представить в виде столбца: x =(0: 0.5: 2)′

b) вычислить
: y =(x +0.5)/2
- формирование массивов (см. раздел “Формирование массивов в системе MATLAB”)
% - с этого символа начинаются комментарии. Они могут быть в виде отдельных строк либо следовать после любой из команд.
; этот символ используется: a) для подавления вывода на экран результатов вычислений; b) для отделения строк матриц.
: - этот символ используется для формирования векторов, а также для выделения строк или столбцов массива.
pi - число π = 3,141592653897
ans - результат выполнения операции в том случае, если выходная переменная не указана (в этом случае MATLAB использует переменную ans ).
inf - этот символ появляется на экране, когда при вычислении в одной из ячеек переполняется разрядная сетка (“фактическая” ∞). Например, при выполнении операции деления на нуль.
NaN - специальная переменная для обозначения неопределенного значения, результата операций типа: 0/0, inf/inf и т.д.

^

Элементарные математические функции

abs - абсолютное значение, например, пусть x = [-2 4 –8.5], тогда abs(x ) = .

sin, cos, tan и т.д. – тригонометрические функции, аргументы (углы) задаются в радианах. Например, t = cos(x );

ехр - экспоненциальная функция (e x ), например: y = exp(x );

log - натуральный логарифм, например: c = log(d );

log10 – десятичный логарифм, например, z = log10(y );

sqrt - квадратный корень, например: b = sqrt(a );
Некоторые графические функции
figure - функция для открытия графического окна на экране
xlabel, ylabel - функции для наименования осей x и y
title - функция для размещения заголовка над графиком
plot (x,y) - функция для построения двумерного графика зависимости y = f(x) в декартовых координатах (тип маркера, цвет и тип линии на графике выбирается автоматически);
plot (x1, y1, LineSpec1, x2, y2, LineSpec2,...) - функция для построения на графическом окне нескольких зависимостей с заданием для каждой линии маркера, цвета и типа линии.
polar(x,y) – функция для построения зависимости y = f(x) в полярных координатах.
meshgrid(x, y) - функция задает прямоугольную сетку на плоскости (x , y ) в виде двумерных массивов, которые определяются заданными векторами x и y .

Пример: [X,Y ] = meshgrid(1:0.5:2,10:14). В результате получаем:

X = 1 1.5 2 Y = 10 10 10

1 1.5 2 11 11 11

1 1.5 2 12 12 12

1 1.5 2 13 13 13

1 1.5 2 14 14 14
mesh(x,y,z) - функция выводит на экран трехмерную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

surf(x,y,z) - функция выводит на экран сплошную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

^

Интерактивный доступ к справочной информации и документации

Существуют несколько способов для получения информации о функциях системы MATLAB.

1 . Команда help имя_функции . Набирается в непосредственно в командном окне MATLAB Command Window. Например: help sin.

2 . Меню HELP командного окна. Это меню дает полную справочную информацию о системе MATLAB, содержит больше подробностей и примеров, чем по команде help. Пользователь может ознакомиться с полной документацией по системе MATLAB (подменю Contents), либо открыть список всех функций в алфавитном порядке (подменю Index), либо организовать поиск по имени (подменю Search). Также есть возможность открыть список функций по категориям (MATLAB Functions Listed by Category), открыть список примеров по категориям (Index of Documentation Examples) и другие возможности.
^

Примеры:

a) Найти функции линейной алгебры. Открываем последовательность окон:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category – Mathematics –- Linear Algebra

b) Найти графические функции для построения графиков:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category- Graphics – Basic Plots and Graphs.
3 . Еще один способ получить информацию о системе MATLAB – обращение к Web-серверу фирмы The MathWorks.

^

5.2 Задачи линейной алгебры, вычисление функций и построение графиков

Система MATLAB ориентирована на работу с массивами и основные задачи линейной алгебры представляются в этой системе в экономной форме. Ниже рассмотрены некоторые типичные задачи линейной алгебры и их программная реализация.

Пример1 . Умножить вектор
на вектор
.

Как известно при умножении векторов первый вектор должен быть строкой, а второй – вектором-столбцом и они должны иметь одинаковые размерности. Поэтому решение записывается в виде
a =

b =

c = a*b
Или
a =

b = ′

c = a*b
% Ответ: с = 12.
PS: Если записать b = , то расчет не выполняется, т.к. b будет интерпретирован как вектор-строка.
Пример2 . Умножить матрицу
на матрицу
.

Для корректного выполнения этой операции число элементов в строках матрицы А должно быть равно числу элементов в столбцах матрицы B. Программа запишется в виде:
a = ;

b = ;

На экране появится:

Пример3 . Решить систему линейных уравнений

В матричной форме эта система примет вид: А*x = B, где:

Тогда решение запишется в виде:
^ A = % задаем матрицу коэффициентов при неизвестных

B = % задаем вектор свободных членов

X=A\B % решение системы (Ответ: х 1 =5, х 2 = 3, x 3 = 2)
Символ \ применяется для решения систем линейных уравнений АХ=В .
Пример 4 . Для матрицы А (см. пример 3) найти детерминант и обратную матрицу (A -1) и сосчитать произведение E = A ∙ A -1 . Решение:
A =

C = det(A) %det – функция вычисляет детерминант заданной матрицы

D = inv(A) %inv - функция вычисляет матрицу, обратную заданной

Ответ: С = -6; E = 1.0000 0 0

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000

В математических моделях часто требуется вычислить значения выражений типа y = f(x) при различных значениях x а затем представить эти зависимости в графической форме. В системе MATLAB такие задачи решаются просто. Ниже приведены примеры.
^

Пример 5 . В интервале х = вычислить значения:

y = e x и z = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24

для равномерно расположенных 31 точек. Построить зависимости y = f(x) и z = f(x) на одном графике (декартовые координаты). Значения x, y, z на экран не выводить.

Решение запишется в виде:
x = (0: 0.1: 3)"; задаем значения х в интервале от 0 до 3 с шагом 0.1

y = exp(x); вычисляем значения вектора у

z = 1.0 +x + (x.^2)/2 + (x.^3)/6 - (x.^4)/24; вычисляем значения вектора z

figure открываем графическое окно

plot(x,y," –g ",x,z," –k ") строим график функции y = cos(x)

xlabel(" coordinata x ") даем название для оси x

ylabel(" coordinata y ’) даем название для оси y

title(" y=exp(x) "); даем заголовок для графика
Пример 6 . В интервале х = вычислить значения y = 0,5 ln(x + 1) для равномерно расположенных 101 точек. Построить зависимость y = f(x ) в полярных координатах.
x = (0: pi/10: 10*pi)’;

y = 0.5*log(x + 1);

polar(x , y ); строим график функции y = 0,5ln(x+1)
MATLAB позволяет легко строить трехмерные графики, т.е. зависимости типа z = f(x, y) , что показано в следующем примере.

Пример 7 . Построить поверхность
при х = -1 до +1 с шагом 0,2 и при y = -1 до +1 с шагом 0,2.

Решение задачи:
[x , y ]=meshgrid([-1:0.2:1]);

z =x .*exp(-x .^2 - y .^2);

mesh(x,y,z );

surf(x,y,z );

PS: графические функции описаны выше в разделе “Некоторые графические функции”.

^ 5.3. Решение нелинейных алгебраических уравнений и аппроксимация функций
Система MATLAB позволяет значительно проще, чем на известных языках программирования решать системы нелинейных (алгебраических уравнений) и выполнять аппроксимацию таблично заданных функций.

Пример 8. Решить уравнение
с начальным приближением x 0 = 5 и c выводом итераций на экран:

Решение задачи:
function ex1

options = optimset(" Display "," iter ");

Fzero(@f, 5, options)

function y = f(x)

y = x.^3-2*x-5;
PS: Первые 3 оператора – основная программа, 2 последних оператора – это функция, определяющая зависимость
при различных значениях х .

Ниже приведены краткие описания функций MATLAB, используемые при решении задачи.
fzero (@имя функции, x 0 , options) – поиск нуля функции одной переменной. Решение ищется в окрестности заданной точки x 0 путем отыскания интервала, где функция меняет знак. Если такой интервал не находится, то возвращается Inf или NaN. Параметр options может задавать вывод промежуточных результатов (итераций) на экран и точность расчета.
optimset (" Display "," iter ") – функция для вывода итераций на экран.
- выводит искомое решение и значение функции, соответствующее этому решению.
Более подробно ознакомиться с используемыми функциями можно по HELP MATLAB.
Пример 9 . Решить систему уравнений:

(5.1)

с начальными приближениями x 0 = 2,5; y 0 = 0,5 и c выводом итераций на экран.

Для решения правые части уравнений переносим в левые части

, (5.2)

так, чтобы в правых частях остались нули. Затем ищем минимум функции, состоящей из суммы этих уравнений, возведенных в квадрат: . Так как сумма квадратов всегда положительное число, то минимум функции не может быть меньше 0, а достижение значения f = 0 означает, что величины x и y , соответствующие этому значению, достигают искомых решений системы (5.2).

Решение задачи:
function ex2

options = optimset (" Display "," iter ");

Fminsearch (@eq1, , options)

function f = eq1(x)

f = (x(1).^2 + x(2).^2 - 9).^2 + (x(1) + sin(x(2)) - 3).^2
PS: Между неизвестными в уравнениях (5.1) и переменными программы имеется соответствие: x = x (1), y = x (2).

Функция MATLAB, используемая при решении задачи:
fminsearch (@имя функции, [ начальные приближения переменных], options) – функция поиска минимального значения функции многих переменных.
^ Аппроксимация функции

Аппроксимация таблично заданной функции полиномом n-ой степени выполняется по методу наименьших квадратов (см. пункт 2.4).
Пример 10 . Выполнить аппроксимацию точечно заданной функции x = 0 до 0.7 с шагом 0.1, y = 0.22 0.428 0.604 0.74 0.84 0.91 0.95 0.98 полиномом 2-ой степени. Построить графики точечно заданной функции и аппроксимирующего полинома:
Решение задачи:
x =(0:0.1:0.7)" % массив x состоит из 8 чисел

y =" % массив y состоит из 8 чисел

p=polyfit(x,y,2)

table=

plot(x,y,"k*",x,f,"-g")

xlabel("coordinata x")

ylabel("coordinata y’)

title("Grafiki y(x), f(x) ")
PS: Количество чисел в массивах x и y должно быть одинаковым; table – имя массива, сформированного из 4-х векторов: x, y, f и (y-f ). Всего в этом массиве 8 4 = 32 числа. Массив f также содержит 8 чисел
polyfit (x, y, степень полинома) - функция находит коэффициенты a i полинома p(x) степени n , который аппроксимирует заданную функцию y(x) :
p(x) = a 1 x n + a 2 x n – 1 + … + a n x + a n+1
polyval (p, x ) - функция для вычисления значений полинома p в заданных точках x .

^ 5.4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление интегралов
В системе MATLAB с помощью стандартных функций легко решаются обыкновенные дифференциальные уравнения (задача Коши) и вычисляются определенные интегралы.

Пример 11 . Решить дифференциальное уравнение, используя стандартную функцию ode45:

(5.3)
в интервале x = 0 до 30 при y(0) = 2 для a = 0,24.

Предварительно представим уравнение (5.3) системой уравнений:

(5.4)

при начальных значениях: y 1 (0) = 0; y 2 (0) = 2, чтобы исключить из правой части (5.3) независимую переменную x .
Решение задачи.
function ex_eqdif

Ode45(@dif1,,);

function dy=dif1(t,y)

% pravie chasti difderensial. uravneniy

dy(2)=cos(y(1))-sin(y(1))-alfa*y(2);
PS: Фунция dif1(t,y) определяет правые части уравнений (5.4). Между неизвестными в уравнениях (5.4) и переменными программы имеется соответствие: x = y (1), y = y (2).
ode45 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta 4-го порядка.
zeros(m,n) - функция формирует массив нулей размера
(где m – число уравнений, n =1).
global – оператор объявляет глобальные переменные. Если вместо переменной alfa в правые части подставить число, то глобальную переменную вводить не надо.
Пример 12 . Решить систему уравнений Лотка-Волтерра, используя функцию ode23:

(5.5)
при х =0 до 10 и начальных условиях: y 1 (0) = 1; y 2 (0) = 1. Параметры  = 0.01 и  = 0.02 задать как глобальные величины. Построить графики функций y 1 (x), y 2 (x) ).
Решение задачи.
function Lotka_Volterra

global alpha beta

alpha=0.01; beta=0.02;

Ode23(@lotka,,);

plot(t,y); %Построение графиков y 1 (t) и y 2 (t)

function dy=lotka(t,y)

global alpha beta

dy(1)=y(1)-alpha*y(1)*y(2);

dy(2)=-y(2)+beta*y(1)*y(2);
PS: Фунция lotka(t,y) определяет правые части уравнений (5.5). Между неизвестными в уравнениях (5.5) и переменными программы имеется соответствие: y 1 = y (1), y 2 = y (2).
ode23 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta низкого порядка.
^ Вычисление интегралов
Пример 13 . Вычислить интеграл:

(5.6)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) и построить график подинтегральной функции в интервале х = с шагом 0,1.

Решение задачи:
function int1

y=1./(x.^3-2*x-5);

plot(x,y); %Построение графика y(x)

Q = quad(@myfun,0,2)

function y = myfun(x)

y = 1./(x.^3-2*x-5);
PS: Подинтегральная функция вычисляется в фунции myfun(x) при различных значениях х
quad(@имя_подинтегральной_функции, a, b) - численное вычисление интеграла по адаптивному методу Симпсона, где: a и b – пределы интегрирования.

Пример 14 . Вычислить интеграл:

(5.7)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) при y = 10 o (преобразовать градусы в радианы). Для величины y в программе использовать глобальную переменную.
Решение задачи.
function int2

Q = quad(@myfun,0,pi/2);

function y = myfun(x)

y=1./sqrt(1-(sin(teta)*sin(x)).^2);
PS: Величине y в программе соответствует глобальная переменная teta . Значение интеграла получаем в переменной Q.

^

Контрольные вопросы

1. Что такое скаляр, вектор, матрица? Дайте определения и примеры.
2. Какие действия можно проводить с векторами и матрицами? Привести примеры.
3. Как в MATLABе формируются массивы: одномерные и двумерные? Дать примеры.
4. Дайте определение транспонированному вектору и транспонированной матрице. Как они формируются в MATLABе? Привести примеры.
5. Дайте определение детерминанту и обратной матрице. Как они вычисляются в MATLABе? Привести примеры.
6. Элементарные функции и их запись в MATLABе. Привести примеры.
7. Выполнить вручную (без помощи компьютера) следующие действия:

Умножить вектор P на вектор Y;

Умножить матрицу G на вектор Y;

Умножить матрицу G на матрицу F,

8. Написать программу на MATLABе для выполнения действий, указанных в вопросе 7.

9. Дана матрица
. Определить без помощи компьютера обратную ей матрицу – A -1 .

10. Найти без помощи компьютера детерминант матрицы
.

11. Дана система линейных уравнений:
(1P)

или в матричном виде C ּX = B .

Составить на MATLABе программу решения этой системы с определением детерминанта матрицы С .
12. Найти с помощью MATLABа матрицу, обратную матрице С (из вопроса 11). Как с помощью матрицы С -1 найти неизвестные x 1 , x 2 , x 3 , x 4 из системы (1P)?
13. Решить с помощью MATLABа систему уравнений
(2P)

Найти причину неудачи, если система (2P) не решается. Определить детерминант матрицы коэффициентов при неизвестных.
14.Для условий вопроса 7 написать на MATLABе программу:

Умножения 1-ой строки матрицы G на 2-ой столбец матрицы F;

Умножения 2-ой строки матрицы F на 2-ой столбец матрицы G.
15. С помощью MATLABа для зависимости длины тормозного пути ^ S (м) в функции от скорости V f (м/с):

где скорость задана в интервале V f = 10…40 (шаг по скорости равен 2м/с), построить графики зависимостей: S = f(V f ) и V f = φ(S) .
16. Решить графически (с помощью MATLABа) уравнение:

(3P)

в интервале x = 0…10π с шагом 0,1π. Сколько корней имеет уравнение (3P)?
17. С помощью MATLABа в декартовых координатах построить окружность с центром в точке x = 1, y = 1 и радиусом, равным 1. По оси x выбрать шаг Δ x = 0,05.
18. С помощью MATLABа построить зависимость y = ln(x + 1) в декартовых координатах в интервале x = 0…4π с шагом 0,2π, а также зависимость r = ln(φ + 1) в полярных координатах в том же интервале и с тем же шагом по φ .
19. С помощью MATLABа на одном графике в полярных координатах с шагом
= 0,1 в интервале построить зависимости (спирали с 3-мя оборотами):
а) r = 0,4φ + 0,03φ 2 (4P)

b) зависимость (4Р), но закрученную в обратном направлении.
20. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = [-1:0,1:1] [-2:0,1:2].
21. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = .
22. С помощью MATLABа используя программу fzero
x 0 = 2км; x f = 8км.
27. Дана табличная зависимость потребления горючего (для легкового автомобиля) от времени эксплуатации.

polyfit, polyval ) найти аппроксимирующую зависимость G = f(t) полиномом 3-ей степени и определить среднюю ошибку аппроксимации.
28. Дана табличная зависимость стоимости легкового автомобиля от времени эксплуатации.

t (год)	0	1	2	3	5	7	10
C ($)	11500	8700	7200	6000	5500	5000	4600

С помощью пакета MATLAB (функции polyfit, polyval ) найти аппроксимирующие зависимости C = f(t) полиномами 2-ой и 3-ейстепени и сравнить максимальные ошибки аппроксимации.
29. С помощью MATLABа (функция ode45

(5P)
в интервале x = 0…2 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 1. Предварительно уравнение (5P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
30. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(6P)
в интервале x = 0…5 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 2. Предварительно уравнение (6P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
31. С помощью MATLABа (функция ode45

в интервале t = 0…8π при начальных условиях: t =0; x 0 = 1; y 0 = 1.
32. С помощью MATLABа (функция ode45 ) решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

в интервале  = 0,3…4 при начальных условиях:  = 0,3; x 0 = 1; y 0 = 0.
33. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(7P)

в интервале t = 0…3c при начальных условиях: t = 0, r 0 = 0,
и ω = 2π (рад/с). Предварительно уравнение (7P) преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

мы изменим третий элемент массива. Или, после введения:

» al(2)=(al(1)+al(3))/2;

второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима – она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву:

Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех:

» length(al) ans = 4

Тоже самое действие – «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации:

Можно задать массив, прописывая все его элементы по отдельности:

» a3(1)=67; a3(2)=7.8; a3(3)=0.017;

Однако этот способ создания не является эффективным.

Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например:

» diap=3.7:0.3:8.974;

Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).

Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим со-

12 гласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.

Введите с клавиатуры:

» a=

Нажмите ENTER, получим:

Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым – число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкатенацией вектор-строк:

» a=[;;];

или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов:

» a=[,];

Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива – функцией ndims, а размер массива – size.

Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индексации, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пересечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:

» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3;

» a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;

Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m – число строк, n – число столбцов). При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными

13 значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив.

Использование этих функций возможно и при задании массивов других размерностей.

Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N – новые размеры массива Х

Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хранит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала располагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памяти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (например, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда следует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изменить только служебную информацию и не трогать собственные данные.

Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транспортирования, которая обозначается знаком." (точка и апостроф). Например,

» A=;

» B=A."

Операция " (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.

Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами. Даже одно заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом,

состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с огромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это является одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых элементов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в случае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов выделяет еще и память для управляющей информации.

Вычисления с массивами

В традиционных языках программирования вычисления с массивами осуществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каждую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке системы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.

Операции сложения и вычитания матриц (знакомые вам из линейной алгебры) обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:

» A=; B=;

» A+B

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром. При выполнении операции А + скаляр (А – матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

15 Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов

одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .* , ./, и

.^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матрицами.

Кроме операции./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления.\. Объясним разницу между

этими операциями. Выражение А./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А.\ В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной задачи линейной алгебры – нахождением корней системы линейных уравнений. Например, если требуется решить систему линейных уравнений

где А – заданная квадратная матрица размера N x N, b – заданный векторстолбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А \ b (это равносильно операции:A −1 B ).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами системы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

» u=; v=;

» cross(u,v)

16 Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции

общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произведение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение:

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведение можно также вычислить как: u*v′.

Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функции извлечения квадратного корня, например:

» sqrt(sum(u.*u))

Ранее рассмотренные для скаляров операции отношения и логические операции выполняются в случае массивов поэлементно. Оба операнда должны быть одинаковых размеров, при этом операция возвращает результат такого же размера. В случае, когда один из операндов скаляр, производится его предварительное расширение, смысл которого уже был пояснен на примере арифметических операций.

Среди функций, генерирующих матрицы с заданными свойствами, упомянем здесь функцию eye, производящую единичные квадратные матрицы, а также широко применяемую на практике функцию rand, генерирующую массив со случайными элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до1. Например, выражение

порождает массив случайных чисел размером 3х3 с элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.

Если вызвать эту функцию с двумя аргументами, например R=rand(2,3),то получится матрица R случайных элементов размером 2x3. При вызове функции rand с тремя и более скалярными аргументами производятся многомерные массивы случайных чисел.

Определитель квадратной матрицы вычисляется с помощью функции det. Среди функций, производящих простейшие вычисления над массивами,

помимо рассмотренной выше функции sum, упомянем еще функцию prod, которая во всем аналогична функции sum, только вычисляет она не сумму элементов, а их произведение. Функции max и min ищут соответственно максимальный и минимальный элементы массивов. Для векторов они возвращают единственное числовое значение, а для матриц они порождают набор экстремальных элементов, вычисленных для каждого столбца. Функция sort сортирует в возрастающем порядке элементы одномерных массивов, а для матриц она производит такую сортировку для каждого столбца отдельно.

Наконец, рассмотрим уникальную возможность М-языка системы MATLAB производить групповые вычисления над массивами, используя обычные математические функции, которые в традиционных языках программирования работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения

» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.

Построение графиков функци

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высокоуровневую графику).

Сформируйте два вектора х и y:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

Вызовите функцию:

» plot(x,y)

и вы получите на экране график функции (рис. 1).

Рис. 1. График функции y=sin(x)

MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure.

Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиатуры выражения

» z=cos(x);

» plot(x,z)

и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают – этого также можно добиться командой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей координат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).

Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

» plot(x,y)

» z=cos(x);

» hold on

» plot(x,z)

Практически тоже самое получится (рис. 2), если набрать:

» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);

» plot(x,y,x,z)

Рис. 2. Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графическом окне

Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, чтобы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого перед вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.

Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазонов осей координат является использование функции subplot. Эта функция позволя-

20 ет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей,

в каждую из которых можно вывести графики различных функций.

Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin и cos постройте графики этих двух функций в первой подобласти, а график функции exp(х) – во второй подобласти одного и того же графического окна (рис. 3):

» w=exp(x);

» subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)

» subplot(1,2,2); plot(x,w)

Рис. 3. Графики функций y=sin(x), z=cos(x) и w=exp(x), построенные в двух подобластях одного графического окна

Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей независимы друг от друга. Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второй равен числу колонок подобластей, а третий аргумент – номеру подобласти (номер отсчитывается

Урок №13.

Многомерные массивы

Понятие о многомерных массивах

Применение оператора «:» в многомерных массивах

Доступ к отдельному элементу многомерного массива

Удаление размерности в многомерном массиве

Создание страниц, заполненных константами и случайными числами

Объединение массивов

Вычисление числа размерностей массива и определение размера размерностей

Перестановки размерностей массивов

Сдвиг размерностей массивов

Удаление единичных размерностей

В этом уроке мы коснемся вопросов, связанных с более сложными типами данных, к которым относятся многомерные массивы.

Понятие о многомерных массивах

В MATLAB двумерный массив является частным случаем многомерного массива. Многомерные массивы характеризуются размерностью более двух. Таким массивам можно дать наглядную интерпретацию. Так, матрицу (двумерный массив) можно записать на одном листе бумаги в виде строк и столбцов, состоящих из элементов матрицы. Тогда блокнот с такими листками можно считать трехмерным массивом, полку в шкафу с блокнотами - четырехмерным массивом, шкаф со множеством полок - пятимерным массивом и т. д. В этой книге практически нигде, кроме этого раздела, мы не будем иметь дело с массивами, размерность которых выше двух, но знать о возможностях MATLAB в части задания и применения многомерных массивов все же полезно.

В нашей литературе понятия «размер» и «размерность» массивов являются почти синонимами. Однако они имеют явно разный смысл в данной книге, как и в документации и литературе по системе MATLAB. Под размерностью массивов понимается число измерений в пространственном представлении массивов, а под размером - число строк и столбцов (mxn) в каждой размерности массива.

Применение оператора «:» в многомерных массивах

При обычном задании массивов (с помощью символа точки с запятой «;») число рядов (строк) массива получается на 1 больше, чем число символов «:», но массив остается двумерным. Оператор «:» (двоеточие) позволяет легко выполнять операции по увеличению размерности массивов. Приведем пример формирования трехмерного массива путем добавления новой страницы. Пусть у нас задан исходный двумерный массив М размером 3x3:

» М=

М =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Для добавления новой страницы с тем же размером можно расширить М следующим образом:

» М(:.:.2)=

M(:.:.l) =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

М(:.:.2) =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

Посмотрим, что теперь содержит массив М при явном его указании:

» М

М(:,:.1)=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

М(:.:.2) =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

Как можно заметить, числа в выражениях М(:.:, 1) и М(:,: ,2) означают номер страницы.

Доступ к отдельному элементу многомерного массива

Чтобы вызвать центральный элемент сначала первой, а затем второй страницы, надо записать следующие выражения:

» М(2.2,1)

Ans =

» МС2.2.2)

Ans =

Таким образом, в многомерных массивах используется то же правило индексации, что и в одномерных и двумерных. Произвольный элемент, например, трехмерного массива задается как М(1 .j.k), где 1 - номер строки, j - номер столбца и k - номер страницы. Этот элемент можно вывести, а можно присвоить ему заданное значение х: М(1 ,j,k)=x.

Удаление размерности в многомерном массиве

Мы уже отмечали возможность удаления отдельных столбцов присвоением им значений пустого вектора-столбца . Этот прием нетрудно распространить на страницы и вообще размерности многомерного массива. Например, первую страницу полученного массива М можно удалить следующим образом:

» М(:.:.1)=

М =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

Нетрудно заметить, что в этом массиве осталась только вторая страница и что размерность массива уменьшилась на 1 - он стал двумерным.

Создание страниц, заполненных константами и случайными числами

Если после знака присваивания стоит численная константа, то соответствующая часть массива будет содержать элементы, содержащие данную константу. Например, создадим из массива М (см. пример выше) массив, у которого вторая страница содержит единицы:

»M(:.:..2)=1

М(:.:,1) =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

М(:.:.2) =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

А теперь заменим первую страницу массива на страницу с нулевыми элементами:

»M(:.:.1)=0

M(:.:.1)=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

М(:.:,2) =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Использование функций ones, zeros, rand и randn

Функции ones (создание массивов с единичными элементами), zeros (создание массивов с нулевыми элементами) и rand или randn (создание массивов с элементами - случайными числами с соответственно равномерным и нормальным распределением) могут также использоваться для создания многомерных массивов. Примеры приводятся ниже:

» E=ones(3.3.2)

E(:.:.1)=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

E(:.:,2) =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

» Z=zeros(2,2,3) Z(:,:.l) =

Z(:.:.2) =

Z(:.:,3) =

» R=randn(3,2.2) R(:.:.l) =

1.6656-1.1465

0.1253 1.1909

0.2877 1.1892

R(:.:,2) =

0.0376-0.1867

0.3273 0.7258

0.1746 -0.5883

Эти примеры достаточно очевидны и не требуют особых комментариев. Обратите, однако, внимание на легкость задания размеров массивов для каждой размерности. Кроме того, следует отметить, что если хотя бы одна размерность массива равна нулю, то массив будет пустым:

» A=randn(3,3,3,0)

А =

Empty array: 3-bу-3-bу-3-by-0

Как видно из данного примера, пустой массив возвращается с соответствующим комментарием.

Объединение массивов

Для создания многомерных массивов служит описанная ранее для матриц специальная функция конкатенации cat:

cat(DIM,A,B) - возвращает результат объединения двух массивов А и В вдоль размерности DIM;

cat(2.A.B) - возвращает массив [А.В], в котором объединены ряды (горизонтальная конкатенация);

cat(1, А.В) - возвращает массив [А:В], в котором объединены столбцы (вертикальная конкатенация);

B=cat(DIM.Al,A2,...) - объединяет множество входных массивов Al, A2,... вдоль размерности DIM.

Функции cat(DIM,C{:}) и cat(DIM.C.FIELD) обеспечивают соответственно конкатенацию (объединение) ячеек массива ячеек (см урок 15) или структур массива структур (см. урок 14), содержащих числовые матрицы, в единую матрицу. Ниже приводятся примеры применения функции cat:

» М1=

» М2=

М2 =

» catd.Ml.M2)

Ans =

5 б

» cat(2.Ml.M2)

ans=

1 2 5 6

3 4 7 8

» M-cat(3.Ml.M2) M(:,:.l) =

М(:,:,2) =

Работа с размерностями

Вычисление числа размерностей массива

Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims:

» M=rand(2:3:4:5):

» ndims(M)

Ans =

4
Вычисление размера размерности массива

Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size:

М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;

Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е. size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.

Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray.

Si ze(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;

D = size (А), для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;

Size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.

Перестановки размерностей массивов

Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:

Permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;

ipermuteCA, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A

Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size:

» А=:

» В=;

» С=;

» D=cat(3.A,B.C)

D(:,:,l) =

9 10

11 12

» size(D)

Ans =

2 2 3

» size(permute(D.))

ans=

3 2 2

»size(ipermute(D.))

Ans=

2 2 3

» ipermute(permute(D,),)

Ans(:. :,2) =

ans(:.:,3) =

9 10

11 12

Сдвиг размерностей массивов

Сдвиг размерностей реализуется функцией shiftdim:

B=shiftdim(X,N) - сдвиг размерностей в массиве X на величину N. Если М>0, то сдвиг размерностей, расположенных справа, выполняется влево, а N первых слева размерностей сворачиваются в конец массива, т. е. движение размерностей идет по кругу против часовой стрелки. Если М<0, сдвиг выполняется вправо, причем N первых размерностей, сдвинутых вправо, замещаются единичными размерностями;

Shiftdim(X) - возвращает массив В с тем же числом элементов, что и у массива X, но с удаленными начальными единичными размерностями. Выходной параметр NSHIFTS показывает число удаленных размерностей. Если X - скаляр, функция не изменяет X , В, NSHIFTS.

Следующий пример иллюстрирует применение функции shiftdim:

» A=randn(1.2.3,4):

» =shiftdim(A)

B(:.:.l) =

2.1707-1.01060.5077

0.05920.6145 1.6924

B(:.:,2) =

0.5913 0.3803 -0.0195

0.6436-1.0091-0.0482

B(:.:.3) =

0.0000 1.0950 0.4282

0.3179-1.87400.8956

В(:.:,4) =

0.7310 0.0403 0.5689

0.5779 0.6771 -0.2556

Удаление единичных размерностей

Функция squeeze(A) возвращает массив, в котором удалены все единичные размерности. Единичной называется размерность, в которой size(A. dim) == 1. Но если

А - одномерный или двумерный массив (матрица или вектор), то функция вернет тот же самый массив А. Следующий пример поясняет работу squeeze:

» A=randn(1.2.1.3.1):

» B=squeeze(A)

0.6145 1.6924 -0.6436

0.5077 0.5913 0.3803

Обратите внимание на то, что пятимерный массив А превращается в массив с размерностью 2 и размером 2x3.

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

Создавать многомерные массивы.

Применять оператор «:» в многомерных массивах.

Получать доступ к отдельным элементам многомерных массивов.

Удалять размерности у многомерного массива.

Создавать массивы, заполненные константами и случайными числами.

Осуществлять объединение массивов.

Вычислять число размерностей массива и определять размер каждой размерности.

Переставлять, сдвигать и удалять единичные размерности в многомерных массивах.