Вычислить определители используя подходящее разложение. Определитель матрицы онлайн

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу .
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Второго порядка называется число, равное разности между произведением чисел, образующих главную диагональ, и произведением чисел, стоящих на побочной диагонали, можно встретить следующие обозначения определителя: ; ; ; detA (детерминант).

.

Пример:
.

Определителем матрицы третьего порядка называется число или математическое выражение, вычисляемое по следующему правилу

Наиболее простым способом вычисления определителя третьего порядка является дописывание снизу определителя двух первых строк.

В образованной таблице чисел перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали и на диагоналях параллельных главной, знак результата произведения не изменяется. Следующим этапом вычислений является аналогичное перемножение элементов, стоящих на побочной диагонали и на параллельных ей. Знаки у результатов произведений меняются на противоположные. Затем складываем полученные шесть слагаемых.

Пример:

Разложение определителя по элементам некоторой строки (столбца).

Минором М ij элемента а ij квадратной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы А , оставшихся после вычеркивания i- ой строки и j -го столбца.

Например, минором к элементу а 21 матрицы третьего порядка
будет определитель
.

Будем говорить, что элемент а ij занимает четное место, если i+j (сумма номеров строки и столбца на пересечении которых находится данный элемент) - четное число, нечетное место, если i+j - нечетное число.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij квадратной матрицы А называется выражение (или величина соответствующего минора, взятого со знаком «+», если элемент матрицы занимает четное место, и со знаком «-», если элемент занимает нечетное место).

Пример:

а 23 = 4;

- алгебраическое дополнение элемента а 22 = 1.

Теорема Лапласа . Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем на примере определителя третьего порядка. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке можно следующим образом

Аналогично можно вычислить определитель третьего порядка, разложив по любой строке или столбцу. Удобно раскладывать определитель по той строке (или столбцу), в которой содержится больше нулей.

Пример :

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению 3-х определителей второго порядка. В общем случае можно вычислить определитель квадратной матрицы n -го порядка, сводя его к вычислению n определителей (n-1 )-го порядка

Замечание. Не существует простых способов для вычисления определителей более высокого порядка, аналогичных способам вычисления определителей 2-го и 3-го порядка. Поэтому для вычисления определителей выше третьего порядка может использоваться только метод разложения.

Пример . Вычислить определитель четвертого порядка.

Разложим определитель по элементам третьей строки

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

4. Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Определитель не изменится, если к элементам одного из его столбцов (строки) прибавить соответствующие элементы любого другого столбца (строки), умноженные на некоторое число.

Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Размерность матрицы 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .

Алгоритм нахождения определителя

1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:

Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:

1. вычисление определителя методом понижения порядка
2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек) .

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы . Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников ) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков - использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.

Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:

\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}

$A_{ij}$ обозначает алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$. Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры . Запись $a_{ij}$ обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему Матрицы. Виды матриц. Основные термины .

Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква "сигма").

Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования , а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.

Расшифруем запись $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:

$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+\ldots $$

Следующее целое число после единицы - двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:

$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+\ldots $$

После двойки следующее число - тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:

$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$

Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:

$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$

Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=55$.

Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)$. Индекс суммирования здесь - буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.

$$ \sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$

Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде:

$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right|$$

Выберем произвольный столбец в этом определителе. Возьмём, к примеру, столбец под номером 4. Запишем формулу для разложения определителя по выбранному четвёртому столбцу:

Аналогично, выбирая, к примеру, третью строку, получим разложение по этой строке:

Пример №1

Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.

Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу . Запишем это разложение в общем виде:

$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}. $$

Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой . Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end{aligned}

Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, - до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.

Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, - просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0$. Используя формулу для разложения по второму столбцу, получим:

$$ \Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Ответ : $\Delta A=134$.

Пример №2

Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу, запишем разложение определителя по третьей строке:

$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}. $$

Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}. $$

Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).

\begin{aligned} & A_{31}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=10;\\ & A_{33}=(-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-34. \end{aligned}

Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:

$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}=\\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

Ответ : $\Delta A=86$.