Условия обратимости . Процесс скользящего среднего второго порядка определен как

и стационарен для всех значений и . Однако он обратим только тогда, когда корни характеристического уравнения

(3.3.9)

лежат вне единичного круга, т. е.

Эти условия аналогичны условиям (3.2.18) стационарности процесса АР(2)

Автокорреляционная функция . Из (3.3.3) следует, что дисперсия процесса равна

и из (3.3.4) - что автокорреляционная функция равна

(3.3.11)

Таким образом, автокорреляционная функция обрывается после задержки 2.

Из (3.3.10) и (3.3.11) вытекает, что первые две автокорреляции обратимого процесса СС(2) должны лежать внутри площади, ограниченной отрезками кривых

(3.3.12)

Область обратимости (3.3.10) для параметров процесса показана на рис. 3.8,а, и соответствующая область (3.3.12) значений автокорреляций - на рис. 3.8,б. Последний рисунок позволяет оценить, согласуется ли данная пара значений с гипотезой, что модель - процесс СС(2). Если согласие имеется, значения и можно найти, решив нелинейные уравнения (3.3.11). Для облегчения такого расчета можно использовать диаграмму в конце книги; она позволяет прямо находить значения и по данным и .

Спектр . Из (3.3.5) находим спектр

(3.3.13)

Заметим, что это спектр с точностью до постоянного множителя обратен спектру (3.2.29) процесса авторегрессии простого порядка.

Частная автокорреляционная функция. Точное выражение для функции частной автокорреляции процесса СС(2) оказывается сложным, но главную роль в нем играет либо сумма двух экспоненциальных членов [если корни характеристического уравнения (3.3.9) действительны], либо затухающая синусоида [если корни (3.3.9) комплексны]. Таким образом, эта функция ведет себя так же как, как автокорреляция процесса АР(2).

Рис. 3.8. Допустимые области значений для обратимого процесса СС(2)

Рис 3.9. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции для различных моделей СС(2)

На рис. 3.9 (заимствованном из ) показаны автокорреляционные функции (кривые слева) и частные автокорреляционные функции(кривые справа) для различных значений параметров из области обратимости. Сравнение с рис. 3.2, на котором приведены соответствующие автокорреляции и частные автокорреляции, иллюстрирует взаимность процессов СС(2) и АР(2).

Итак, дело дошло до скользящего среднего (moving average , MA). Модель скользящего среднего - вещь совершенно не сложная, однако, как и все остальные модели прогнозирования или их составляющие, имеет целый ряд нюансов. Например, Википедия содержит в себе весьма громоздкое описание указанной модели , однако я не стану тут так подробно говорить об ней, но постараюсь кратко изложить основную ее идею.

Часто случается, что в исследуемом процессе имеются выбросы. Как правило, они весьма сложно исследуются. Очевидно, что подобные выбросы дурно влияют на ближайшие к ним прогнозные значения.

Ниже на графике представлен временной ряд цен рынка на сутки вперед (РСВ). Представим, что мы имеем фактические значения данного временного ряда до дня №2 и ранее, а спрогнозировать нам нужно значения в день №3. Совершенно очевидно, что если временной ряд регулярный, то выбросы дня №2 самым дурными образом скажутся на вычисленных значениях, если эти пики не сгладить.

Для сглаживания подобных пиков и применяется модель скользящего среднего , которая, по сути дела, представляет собою простой фильтр низких частот.

Скользящее среднее второго порядка, которое принято обозначать как MA(2) для временного ряда Z(t) вычисляется следующим образом:

Скользящее среднее третьего порядка MA(3) вычисляется аналогично:

Скользящее среднее пятого порядка MA(5):

Таким образом, для скользящего среднего порядка p легко написать следующую формулу:

То есть скользящее среднее для момента t является алгебраическим средним нескольких предыдущих значений исходного временного ряда Z(t) . На следующем графике представлен исходный временной ряд, а также MA(2) и MA(5). Обратите внимание на то, каким образом модель скользящего среднего влияет на выбросы в трех часах дня №2. Заметно, что выбросы существенно сгладились, однако весь остальной профиль временного ряда MA существенно не отличается от исходного, только несколько сдвинут по фазе. Такой сдвиг по фазе легко устранить обычным сдвигом значений ряда.

Таким образом, ясно, что скользящее среднее представляет собой фильтр , который позволяет сглаживать выбросы временного ряда, которые, в свою очередь, спрогнозировать достаточно сложно или вовсе невозможно.

У модели скользящего среднего множество нюансов, с которыми вы можете ознакомиться самостоятельно.

Среди моделей для стационарных временных рядов широкое распространение имеют модели скользящей средней .

Для стационарного ряда моделируемый уровень временного ряда можно представить как линейную функцию прошлых ошибок, т.е. разностей между прошлыми фактическими и теоретическими уровнями:

где μ – константа;– белый шум в текущий и предыдущий период времени:

Термин "скользящая средняя", используемый здесь, не синоним скользящей средней как методу сглаживания уровней динамического ряда.

В модели (7.20) уровень динамического ряда рассматривается как сумма константы μ и скользящей средней между текущими и предыдущими значениями белого шума (случайных отклонений).

Обозначим скользящую среднюю модели (7.20) через :

Уравнение (7.21) принято называть процессом скользящего среднего порядка q и обозначать как МА (q) от английского Moving Average. Порядок скользящей средней определяется числом учитываемых в модели предыдущих значений случайных отклонений. Так, МА (2) можно записать как , а модель уровня динамического ряда с использованием МА (2) будет иметь вид

Соответственно модель уровня ряда с использованиемМА(1) примет вид

При q = 0 и μ =0 получаем процесс белого шума.

Временные ряды с использованием процесса скользящего среднего могут иметь место, когда уровни динамического ряда характеризуются случайной колеблемостью.

Модели ARMA

Соединение в одной модели авторегрессионного процесса AR и модели скользящего среднего МА приводит к модели авторегрессионного процесса со скользящими средними в остатках (ARMA – от английского Auto Regressive – Moving Average):

В модели (7.22) в качестве объясняющих переменных рассматриваются лаговые значения зависимой переменной ср интервалами сдвига и скользящие средние порядка q для остатков авторегрессии. Иными словами, модель включает в себя AR (р ) иМА (q). Ее принято обозначать ARMA (р, q). Например, ARMA (3, 2) имеет вид

При практической реализации моделей ARMA наиболее сложным является выбор числа лагов р и q.

Инструментом идентификации модели ARMA является изучение частной автокорреляционной функции по моделям с разным числом лагов. Частная автокорреляционная функция (PACF – Partial Autocorrelation Function ) представляет собой серию частных коэффициентов автокорреляции {РАС), которые измеряют связь между текущим уровнем динамического рядаи предыдущими значениямив условиях, когда влияние других промежуточных временных лагов устранено. Так, частный коэффициент автокорреляции при лаге к будет представлять собой корреляциюи, очищенную от влияния

Обозначим частный коэффициент автокорреляции с лагом к через. При(уровни ряда коррелируют сами с собой); при, где–коэффициент автокорреляции первого порядка. Это равенство связано с тем, что при расчете р(1) отсутствуют промежуточные лаги. Вычисление р более высокого порядка можно производить по формулам

В данных формулах определитель числителя отличается от определителя в знаменателе только заменой последнего столбцаопределителя в знаменателе столбцом из значений

Пример 7.3

За 50 мес. темпы прироста объема продукции К характеризовались авторегрессией вида и F = 93,9. Автокорреляционная функция составила убывающие значения автокорреляции:

Для модели типа МА (q) порядок q определяется по поведению автокорреляционной функции: при стремится к нулю. Для модели ARMA (р, q) автокорреляционная функция характеризуется убыванием, начинающимся с лага q, а частная автокорреляционная функция убывает, начиная с лага р. Так, для модели ARMA (1,1) приACF наблюдает экспоненциальное затухание с лага 1, a PACF – осциллирующее убывание слага 1. ПриACF для модели ARMA (1,1) наблюдает осциллирующее убывание с лага 1, a PACF – экспоненциальное затухание с лага 1.

Выбор типа модели ARMA не ограничивается обычно исследованием автокорреляционных функций. С этой целью может использоваться, например, информационный критерий Акайке1, рассмотрение которого не входит в задачу данного учебника.

Модели ARIMA

Для получения стационарного ряда могут рассчитываться разности уровней временного ряда Δ разного порядка d. Модель, в которой соединены нахождение последовательных разностей временного ряда порядка d и ARMA, – модель порядка (р, q), получила название авторегрессионной интегрированной модели скользящей средней – ARI MA (Autoregressive Integrated Moving Average).

Модель ARIMA обладает тремя параметрами: р – порядок авторегрессии AR; d – порядок последовательных разностей уровней временных рядов, обеспечивающий стационарность ряда, и q – порядок скользящей средней МА.