Сколько искусственных спутников вращается вокруг земли

На тело, выведенное за пределы земной атмосферы, действуют, как и на всякое небесное тело, только силы тяготения со стороны Земли, Солнца и других небесных тел. В зависимости от начальной скорости, сообщенной телу при его взлете с поверхности Земли, дальнейшая судьба тела может быть различной: при малой начальной скорости тело падает обратно на Землю; при большей скорости тело может превратиться в искусственный спутник и начать вращаться вокруг Земли, подобно ее естественному спутнику - Луне; при еще большей скорости тело может уйти от Земли так далеко, что сила земного притяжения практически не будет влиять на его движение и оно обратится в искусственную планету, т. е. начнет вращаться вокруг Солнца; наконец, при еще большей скорости тело может навсегда уйти из Солнечной системы в мировое пространство.

Мы рассмотрим только случай, когда тело превращается в искусственный спутник Земли. Изучая его движение относительно Земли, будем учитывать только силу притяжения его Землей. Мы увидим, что тело может стать спутником Земли только в том случае, если его скорость лежит в сравнительно узких пределах: от 7,91 до 11,19 км/с. При скорости, меньшей 7,91 км/с, тело упадет обратно на Землю; при скорости, большей 11,19 км/с, тело уйдет от Земли безвозвратно.

Для запуска искусственных спутников применяют специальные ракеты, поднимающие спутник на заданную высоту и разгоняющие его до требуемой скорости; после этого спутник отделяется от ракеты-носителя и продолжает свое движение под действием только сил тяготения. Двигатели ракет должны, совершить работу против сил тяжести и против сил сопротивления воздуха, а также сообщить спутнику большую скорость. Для этого двигатели ракеты должны развивать огромную мощность (миллионы киловатт).

Если расстояние от спутника до поверхности Земли меняется незначительно по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу притяжения спутника Землей можно (для грубых расчетов) считать постоянной по модулю, как это мы делали в § 113 при изучении полета тела, брошенного под углом к горизонту. Но направление силы тяжести уже нельзя будет считать постоянным, как для коротких траекторий пуль и снарядов; теперь мы должны учитывать, что сила тяжести направлена в любой точке по радиусу к центру Земли.

Мы рассмотрим только движение искусственных спутников по круговым орбитам. Сила притяжения Земли создает центростремительное ускорение спутника, равное , где - радиус орбиты, а - неизвестная пока скорость спутника. Предположим, что орбита проходит вблизи поверхности Земли, так что практически равен радиусу Земли . Тогда, если пренебречь сопротивлением атмосферы, спутник будет двигаться с ускорением , направленным к центру Земли. Следовательно,

Радиус Земли. Отсюда находим, что скорость спутника, описывающего круговую орбиту вблизи поверхности Земли, должна быть равна

Подставив и , найдем

Эту скорость называют первой космической скоростью. Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за .

Спутник, вращающийся вокруг Земли вблизи земной поверхности, имеет ускорение , направленное к центру Земли, т. е. такое же ускорение свободного падения, как и тело, свободно летящее по параболической траектории или падающее по вертикали вблизи земной поверхности. Значит, движение спутника есть просто свободное падение, подобное движению пуль и снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли: падение (т. е. движение с ускорением , направленным к центру Земли) сводится к огибанию земного шара.

Рис. 203. Рисунок из трудов Ньютона: траектории тела, бросаемого с вершины высокой горы с различными горизонтальными скоростями. Еще Ньютон понимал, что для запуска тела на орбиту вокруг Земли тело должно иметь достаточно большую скорость. - пункты, в которых оканчиваются траектории при увеличении скорости

Из формулы (125.1) ясно, что если скорость тела будет меньше первой космической, то сила тяжести заставит его двигаться по траектории с радиусом кривизны, меньшим радиуса Земли . Значит, при такой скорости тело упадет на 3емлю. При большей скорости радиус кривизны траектории будет больше и тело опишет эллиптическую траекторию (рис. 203).

В действительности спутник не может быть запущен по орбите радиуса из-за огромного сопротивления воздуха вблизи поверхности Земли. Найдем, какова должна быть скорость движения по круговой орбите любого радиуса , большего . Для этого воспользуемся формулой, аналогичной (125.2), учитывая, что ускорение свободного падения убывает при удалении от центра Земли в отношении, обратном отношению квадратов расстояний от центра. Ускорение на расстоянии от центра Земли найдем по формуле . Скорость движения спутника по круговой орбите радиуса получается из равенства

,

(125.3)

Таким образом, по мере увеличения радиуса орбиты скорость искусственного спутника уменьшается.

Это не означает, однако, что для запуска спутника на орбиту большего радиуса двигатели ракеты должны совершить меньшую работу. Уменьшается только доля работы, необходимая для сообщения спутнику кинетической энергии. Но при этом спутник надо поднять на большую высоту над Землей; значит, потребуется совершить большую работу против силы земного притяжения, т. е. сообщить спутнику большую потенциальную энергию. В итоге оказывается, что по мере увеличения радиуса орбиты суммарная работа, необходимая для запуска спутника, растет.

В самом деле, рассчитаем, как меняется в зависимости от радиуса орбиты работа, необходимая на подъем спутника с земной поверхности до орбиты и на сообщение ему скорости, необходимой для движения по орбите. Согласно формуле (125.3) кинетическая энергия спутника массы , движущегося по орбите радиуса , равна

,

где - первая космическая скорость. Подставив вместо ее значение, определяемое формулой (125.2), выражению для кинетической энергии можно придать вид

Рассмотрим полет спутника массы по орбите радиуса и по орбите радиуса , где - положительное приращение радиуса , много меньшее самого радиуса . Согласно (125.4) кинетическая энергия спутника при полете по этим орбитам равна соответственно

.

где - приращение кинетической энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую. Это приращение равно

В соответствии с тем, что при переходе с первой орбиты на вторую скорость спутника уменьшается, получилось отрицательным.

С другой стороны, работа против силы тяжести при переходе с первой орбиты на вторую равна силе тяжести, действующей на спутник, умноженной на . Так как мало, изменением силы тяжести при переходе можно пренебречь и считать ее равной . Следовательно, работа против силы тяжести при переходе с первой орбиты на вторую

Эта работа затрачивается на приращение потенциальной энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую. Таким образом,

. (125.6)

Сравнение выражений (125.5) и (125.6) показывает, что приращение потенциальной энергии в два раза превышает убыль кинетической энергии спутника:

Представим переход спутника с орбиты радиуса на орбиту радиуса , сильно отличающегося от как ряд последовательных переходов, при каждом из которых радиус орбиты увеличивается на малую величину . При каждом таком переходе выполняется соотношение (125.7). Следовательно, это соотношение имеет место и при переходе с орбиты радиуса на орбиту радиуса :

(см. формулу (125.4)). Полученное равенство будет выполняться, если положить на расстоянии от центра Земли равной

, (125.8)

где - произвольная константа. Напомним, что потенциальная энергия всегда бывает определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной, значение которой зависит от выбора положения тела, в котором его потенциальная энергия принимается равной нулю.

В этом случае при . На любом конечном расстоянии от центра Земли потенциальная энергия отрицательна. Выражению (125.9) можно придать другой вид, заменив, согласно (124.3), на :

. (125.10)

Мы получили выражение (125.8) для спутника, движущегося по орбите радиуса . Однако оно не содержит скорости и, следовательно, справедливо для любого тела массы независимо от того, движется это тело или покоится.

Если принять равной нулю, когда тело находится на поверхности Земли (т. е. ), то , и выражение для потенциальной энергии примет вид

.

Пусть , где - очень малая по сравнению с величина. Тогда выражение (125.11) упрощается следующим образом:

.

Мы пришли к известному выражению для потенциальной энергии тела, поднятого над Землей на высоту .

Напомним, что потенциальная энергия определяет работу, которая совершается силами тяготения над телом при переходе его из положения с энергией в положение, в котором потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, выражение (125.11) определяет работу, которую совершают силы тяготения при переходе из точки, находящейся на расстоянии от центра Земли, в точку на поверхности Земли. Из формулы (125.11) следует, что при перемещении тела массы из бесконечности на поверхность Земли силы тяготения совершают над телом работу, равную . Соответственно работа, которую нужно совершить против сил тяготения, чтобы удалить тело с поверхности Земли на бесконечность, также равна . Эта работа конечна, несмотря на то, что путь, на котором она совершается, бесконечно велик. Это объясняется тем, что силы тяготения быстро убывают с увеличением расстояния от Земли - обратно пропорционально квадрату расстояния.

С помощью выражений для кинетической и потенциальной энергий можно определить работу, которую нужно совершить, чтобы вывести спутник массы на орбиту радиуса . Перед запуском полная энергия спутника (кинетическая плюс потенциальная) равна нулю. Двигаясь по орбите, спутник обладает кинетической энергией, определяемой выражением (125.4), и потенциальной энергией, определяемой выражением (125.11). Интересующая нас работа равна полной энергии спутника, движущегося по орбите:

Это выражение не учитывает работу, которую нужно совершить при запуске спутника против сил сопротивления атмосферы. Из (125.12) видно, что с увеличением радиуса орбиты растет работа, которую нужно затратить для выведения спутника на орбиту.

Работа (125.13) совершается за счет запаса кинетической энергии, которая сообщается спутнику при запуске. Минимальная скорость , с которой должен быть запущен спутник, чтобы он удалился на бесконечность, определяется условием

Эту скорость называют второй космической скоростью. Сравнение с (125.2) показывает, что вторая космическая скорость в раз больше первой:

При запуске тела со скоростью, большей второй космической скорости, оно также не возвратится на Землю, но в этом случае по мере удаления тела от Земли его скорость не будет стремиться к нулю.

125.1. С какой скоростью нужно подбросить тело вертикально вверх, чтобы оно достигло высоты над поверхностью Земли, равной радиусу Земли? При расчете пренебречь сопротивлением воздуха, но учесть изменение силы тяжести.

125.2. На каком расстоянии от центра Земли период обращения искусственного спутника будет равен 24 часам, так что спутник сможет занимать относительно вращающейся Земли неизменное положение («синхронные спутники»)?

Прежде чем приступить к обсуждению проекта барона, вспомним, что такое первая и вторая космические скорости. Для того чтобы заранее предвосхитить все возможные недоумения учащихся представим наши рассуждения в форме воображаемого диалога Автора с Читателем.

Читатель: Думаю, нет. В конце концов, всё, что падает, упадет.

Читатель: Спутники? Но они же вращаются вокруг Земли, а не падают на нее!

Читатель: Тогда я не понимаю, как же спутникам удается удержаться на орбите...

На спутник же вместо силы натяжения нити действует сила тяжести (рис. 5.2).

Чтобы было понятнее, проведем такой мысленный эксперимент. Поднимемся на очень высокую башню - высотой километров эдак в сто (на этой высоте сила сопротивления воздуха уже практически отсутствует) - и будем бросать с башни камешки, как показано на рис. 5.3. Чем с большей скоростью мы бросим камешек, тем дальше упадет он от основания башни. Наконец, при какой-то определенной скорости он вообще не упадет на землю, а вернется к нам с противоположной стороны.

Тут необходима осторожность: учитывая, что скорость такого камешка должна быть раз в 10 больше скорости артиллерийского снаряда, то последствия могут быть... сами понимаете. А скорость такого камешка как раз и называется первой космической. Сформулируем это четче.

Первой космической скоростью называется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли и двигалось по круговой орбите на небольшой по сравнению с радиусом Земли высоте.

Давайте сразу и вычислим первую космическую скорость х I . Так как тело находится на небольшой высоте h R, то ускорение свободного падения будем считать равным g = 9,8 м/с 2 . Единственная сила, которая действует на тело, движущееся по круговой орбите вокруг Земли - это сила тяжести . Она-то и сообщает телу центростремительное ускорение , где R - радиус Земли.

По второму закону Ньютона:

Подставим численные значения (R = 6,400·10 6 м, g = 9,8 м/с 2), получим:

Запомним: первая космическая скорость х I = 7,9 км/с.

Заметим, что по формуле (5.1) можно вычислить первую космическую скорость не только для Земли, но и для любой другой планеты.

Читатель: А если камешку на рис. 5.3 сообщить скорость х > 7,9 км/с?

При скорости, большей первой космической, траектория камешка (или космической станции) из окружности превратится в эллипс, который по мере увеличения скорости будет становиться всё более вытянутым (рис. 5.4). Наконец, при скорости х = 11,2 км/с, которую называют второй космической , траектория тела из эллипса превратится в параболу и тело навсегда покинет пределы земного тяготения.

Идея скоростного спутника

Теперь об идее барона. Скорость, с которой его спутник вращается вокруг Земли - 30 км/c - значительно больше первой космической скорости, которая, как мы с вами выяснили, составляет всего 7,9 км/c! Но у спутника барона, как видно из рисунка на плакате, имеется двигатель , который выбрасывает реактивную струю в направлении от центра орбиты! Этот двигатель создает дополнительную силу, которая теперь вместе с силой тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение. Иными словами, центростремительная сила увеличилась на величину силы тяги реактивного двигателя, а, значит, увеличилось и центростремительное ускорение. Теперь второй закон Ньютона для спутника будет иметь вид:

где f - реактивная сила, х - скорость спутника, R - радиус орбиты, m - масса спутника, а g - ускорение свободного падения (рис. 5.5).

Из формулы (5.2) ясно, что, увеличивая реактивную силу f , мы можем увеличивать скорость вращения спутника х . Теоретически нам никто не мешает сделать реактивную силу сколь угодно большой, а значит и скорость обращения спутника можно теоретически неограниченно увеличивать вплоть до скорости света. Проблемы начинаются там, где мы от теории переходим к практике.

Сначала ответим на возражение Профессора. Он опасается, что, поскольку скорость спутника превышает не только первую, но и вторую космическую, то наш спутник удалится от Земли на бесконечное расстояние. Профессор просто забыл, что это справедливо только для небесного тела - то есть спутника, не имеющего никаких двигателей. Наличие двигателя всё принципиально меняет. С двигателем можно улететь с Земли с любой , даже очень маленькой скоростью (если не жалко горючего), а можно и не улететь от нее далеко , двигаясь очень быстро!

Так что возражение Профессора мы не принимаем.

Теперь остановимся на возражении Инженера: почему не увеличивается скорость, если работает двигатель? То есть почему не увеличивается скорость , если на спутник действует сила ?

Тут уместен контрвопрос: а почему не увеличивается скорость спутника, который движется вокруг Земли по круговой орбите с первой космической скоростью (см. рис. 5.2)? На него ведь тоже действует сила тяготения. А почему не увеличивается скорость шарика, который мы раскручиваем на веревке (см. рис. 5.1)? На него ведь тоже действует сила натяжения нити!

Дело в том, что все эти силы направлены перпендикулярно к направлению скорости, поэтому они не совершают механической работы: угол, который составляет каждая из этих сил с вектором малого перемещения, равен 90°, поэтому работа всех этих сил равна: А = F ·Δs ·cos90° = 0. И все эти силы «занимаются» не увеличением величины скорости тела, а изменением направления скорости.

Можно спросить: на что же тогда тратится энергия топлива, ведь она же не может исчезнуть? Увы, она тратится довольно расточительно - на увеличение внутренней энергии продуктов сгорания топлива.

Самый неприятный для барона вопрос задал Бизнесмен: «А сколько потребуется горючего?»

Не будем огорчать барона: очень много, лучше даже не рассчитывать, чтобы не расстраиваться. Двигатель должен работать на полную мощность постоянно, а ведь топливо еще надо доставить на орбиту! Правда, барон ничего не сказал о конструкции своего двигателя. Может быть, он уже научился черпать энергию «из физического вакуума», как предлагают некоторые современные изобретатели? Тогда другое дело!

Лучше сделаем другую оценку. Вычислим, какую перегрузку будет испытывать барон, если он окажется внутри собственного спутника. То есть вычислим, во сколько раз вес барона в спутнике будет больше его веса на Земле.

Заметим, что в спутнике барона невесомости нет - что, конечно, хорошо, если вес не слишком велик, и очень плохо, если вес становится слишком большим!

Итак, пусть наш барон имеет массу 100 кг и движется в своем спутнике по орбите радиусом 6400 км, то есть на околоземной орбите. Тогда ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с 2 (рис. 5.6). Скорость спутника v = 30 км/с.

На барона действуют две силы: сила реакции со стороны пола и сила тяготения. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нормали :

Ясно, что по третьему закону Ньютона с точно такой же по величине силой барон будет давить на пол:

Р = N = 1300 кгс.

В то же время на Земле вес барона, имеющего массу 100 кг, равен 100 кгс. Таким образом, вес барона в спутнике увеличится в 13 раз!

В истории космонавтики были случаи, когда в течение нескольких секунд космонавты выдерживали подобные перегрузки и при этом оставались живы. Но наш барон человек исключительной физической силы, поэтому, возможно, он выдержит несколько минут такого полета. Хотя, честно говоря, лучше бы сбросить скорость хотя бы до 20 километров в секунду: амбиции амбициями, а жизнь всё-таки дороже!

Вы когда нибудь интересовались сколько спутников вращается вокруг Земли?

Первый искусственный спутник был выведен на орбиту земли 4 октября 1957 года. За годы освоения космоса в околоземном пространстве скопилось несколько тысяч летательных объектов

Над нашей головой пролетает 16 800 искусственных объектов, среди них 6000 спутников, остальные считаются космическим мусором - это разгонные блоки и обломки. Активно функционирующих аппаратов меньше - около 850 .

Долгожителем среди спутников считается AMSAT OSCAR-7, запущенный на орбиту 15 ноября 1974 года. Этот маленький аппарат (его вес -28,8 килограмма) предназначен для любительской радиосвязи. Самый крупный объект на орбите - Международная космическая станция (МКС). Ее масса - около 450 тонн.

Спутники, обеспечивающие связь сотовых операторов («Билайн», МТС и «Мегафон»), размещают на орбитах двух типов: низкой и геостационарной.

На низкой высоте, 780 километров от Земли, находится используемая мобильными операторами глобальная система связи «Иридиум». Идею ее создания предложила в 1980-х годах компания Motorola. Названием система обязана химическому элементу иридию: в ее составе должно было быть 77 аппаратов, что равно атомному номеру иридия. Сейчас в «Иридиуме» 66 спутников.

Геостационарная орбита расположена на высоте 35 786 километров над экватором. Размещать на ней спутники связи выгоднее, так как не нужно постоянно наводить антенну - аппараты вращаются вместе с Землей и всегда находятся над одной точкой. На геостационаре 178 спутников. Самая большая группа в России принадлежит ФГУП «Космическая связь»: 9 спутников серии «Экспресс» обеспечивают телерадиовещание, мобильную, а также правительственную и президентскую связь, Интернет. Также на геостационарной орбите размещаются метеорологические и спутники наблюдения. Метеорологические спутники фиксируют изменения в атмосфере, «наблюдатели» определяют степень созревания зерновых, степень засухи и прочее.