Симплексный метод для чайников. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Новости 23.09.2019
Новости
Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности (см. решение двойственной задачи) и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых b i могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для решения задач линейного программирования P-методом в следующих формах записи: базовой форме записи симплекс-метода, в виде симплексной таблицы, модифицированным симплекс-методом.

Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения двойственным симплекс-методом).

Количество переменных 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество ограничений) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Объем товара Х (в партиях) Доход G(X)
1 2 3
0 0 0 0
1 28 30 32
2 41 42 45
3 50 55 48
4 62 64 60
5 76 76 72

В P-методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам. Псевдоплан - план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x i имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:

  1. Составление псевдоплана . Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».
  2. Проверка плана на оптимальность . Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом .
  3. Выбор ведущих строки и столбца . Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.
  4. Расчет нового опорного плана . Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса . Далее переход к этапу 2.
Более подробный алгоритм двойственного симплекс-метода . Особенности двойственного симплекс-метода Используются при решении методом Гомори .

Пример . Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц, А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P–метода.

Известно, что содержание n питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.

Задание : Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 при следующих условиях-ограничений.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . Во втором неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

A =
-1 -1 0 1 0
2 1 -1 0 1
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны нулю, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-10,8)
Базис B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 4 -10 -1 -1 0 1 0
x 5 8 2 1 -1 0 1
F(X0) 0 -4 -2 -1 0 0

Итерация №1

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.


Ведущей будет первая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.

Базис B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 4 -10 -1 -1 0 1 0
x 5 8 2 1 -1 0 1
F(X0) 0 -4 -2 -1 0 0
θ 0 -4: (-1) = 4 -2: (-1) = 2 - - -

4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса .
Базис B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 2 10 1 1 0 -1 0
x 5 -2 1 0 -1 1 1
F(X0) 20 -2 0 -1 -2 0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
-10: -1 -1: -1 -1: -1 0: -1 1: -1 0: -1
8-(-10 1):-1 2-(-1 1):-1 1-(-1 1):-1 -1-(0 1):-1 0-(1 1):-1 1-(0 1):-1
0-(-10 -2):-1 -4-(-1 -2):-1 -2-(-1 -2):-1 -1-(0 -2):-1 0-(1 -2):-1 0-(0 -2):-1

Итерация №2
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет вторая строка, а переменную x 5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует третьему столбцу, т.е. переменную x 3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).

Базис B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 2 10 1 1 0 -1 0
x 5 -2 1 0 -1 1 1
F(X0) 20 -2 0 -1 -2 0
θ 0 - - -1: (-1) = 1 - -

4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования.
Базис B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 2 10 1 1 0 -1 0
x 3 2 -1 0 1 -1 -1
F(X1) 22 -3 0 0 -3 -1
Или более подробно:
B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
10-(-2 0):-1 1-(1 0):-1 1-(0 0):-1 0-(-1 0):-1 -1-(1 0):-1 0-(1 0):-1
-2: -1 1: -1 0: -1 -1: -1 1: -1 1: -1
20-(-2 -1):-1 -2-(1 -1):-1 0-(0 -1):-1 -1-(-1 -1):-1 -2-(1 -1):-1 0-(1 -1):-1

В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Базис B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 2 10 1 1 0 -1 0
x 3 2 -1 0 1 -1 -1
F(X1) 22 -3 0 0 -3 -1

Оптимальный план можно записать так: x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 2
F(X) = 2 10 + 1 2 = 22

Необходимо решить задачу линейного программирования.

Целевая функция:

2x 1 +5x 2 +3x 3 +8x 4 →min

Ограничивающие условия:

3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 ≤12
4x 1 -13x 2 +10x 3 +5x 4 ≥6
3x 1 +7x 2 +x 3 ≥1

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо перейти от неравенств к равенствам, с добавлением дополнительных переменных.

Так как наша задача - задача минимизации, то нам необходимо преобразовать ее к задаче на поиск максимума. Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции на противоположные. Элементы первого неравенства записываем без изменений, добавив в него дополнительную переменную x 5 и изменив знак "≤" на "=". Т. к. второе и третье неравенства имеют знаки "≥" необходимо поменять знаки их коэффициентов на противоположные и внести в них дополнительные переменные x 6 и x 7 соответственно. В результате получем эквивалентную задачу:

3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 +x 5 =12
-4x 1 +13x 2 -10x 3 -5x 4 +x 6 =-6
-3x 1 -7x 2 -x 3 +x 7 =-1

Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции с противоположным знаком.

Своб член

F
X5
X6
X7

В составленой нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -6, он задает ведущую строку - X6. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -10 он находится в столбце X3 который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу:
X1 X2 X6 X4 Своб член
F 0.8 8.9 0.3 6.5 -1.8
X5 4.6 0.8 -0.4 3 14.4
X3 0.4 -1.3 -0.1 0.5 0.6
X7 -2.6 -8.3 -0.1 0.5 -0.4

В составленой нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -0.4, он задает ведущую строку - X7. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -8.3 он находится в столбце X2 который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу:
X1 X7 X6 X4 Своб член
F -1.988 1.072 0.193 7.036 -2.229
X5 4.349 0.096 -0.41 3.048 14.361
X3 0.807 -0.157 -0.084 0.422 0.663
X2 0.313 -0.12 0.012 -0.06 0.048

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение.В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -1.988 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X2, а ведущий элемент: 0.313.

X2 X7 X6 X4 Своб член
F 6.351 0.31 0.269 6.655 -1.924
X5 -13.895 1.763 -0.577 3.882 13.694
X3 -2.578 0.152 -0.115 0.577 0.539
X1 3.195 -0.383 0.038 -0.192 0.153

Так как в строке F нет отрицательных элементов, то найдено оптимальное решение. Так как исходной задачей был поиск минимума, то оптимальным решением будет свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. F=1.924
при значениях переменных равных: x 3 =0.539, x 1 =0.153. Переменные x 2 и x 4 не входят в базис, поэтому x 2 =0 x 4 =0.

Задач линейного программирования. Он в последовательном построении , характеризующей рассматриваемый процесс. Решение разбивается на три основных этапа: выбор переменных, построение системы ограничений и поиск целевой функции.

Исходя из этого разделения, условие задачи можно перефразировать следующим образом: экстремум целевой функции Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) → max (min) и соответствующие переменные, если известно, что они удовлетворяют системе ограничений: Φ_i (x1, x2, … ,xn) = 0 при i = 1, 2, …, k;Φ_i (x1, x2, … ,xn)) 0 при i = k+1, k+2, …, m.

Систему ограничений нужно привести к каноническому виду, т.е. к системе линейных уравнений, где число переменных больше числа уравнений (m > k). В этой системе обязательно найдутся переменные, которые можно выразить через другие переменные, а если это не так, то их можно ввести искусственно. В этом случае первые называются базисом или искусственным базисом, а вторые – свободными.

Удобнее рассмотреть симплекс-метод на конкретном примере. Пусть дана линейная функция f(x) = 6x1 + 5x2 + 9x3 и система ограничений:5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25;x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 20;4x1 + 3x3 ≤ 18.Требуется найти максимальное значение функции f(x).

РешениеНа первом этапе задайте начальное (опорное) решение системы уравнений абсолютно произвольным образом, которое при этом должно удовлетворять данной системе ограничений. В данном случае требуется введение искусственного , т.е. базисных переменных x4, x5 и x6 следующим образом:5x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 25;x1 + 6x2 + 2x3 + x5 = 20;4x1 + 3x3 + x6 = 18.

Как видите, неравенства преобразовались в равенства благодаря добавленным переменные x4, x5, x6, которые являются неотрицательными величинами. Таким образом, вы привели систему к каноническому виду. Переменная x4 входит в первое уравнение с коэффициентом 1, а в два – с коэффициентом 0, то же справедливо для переменных x5, x6 и соответствующих уравнений, что соответствует определению базиса.

Вы подготовили систему и нашли начальное опорное решение – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Теперь представьте коэффициенты переменных и свободные члены уравнений (цифры справа от знака «=») в виде таблицы для оптимизации дальнейших вычислений (см. рис).

Суть симплекс-метода состоит в том, чтобы привести эту таблицу к такому виду, в котором все цифры в строке L будут неотрицательными величинами. Если же выяснится, что это невозможно, то система вообще не имеет оптимального решения. Для начала выберите самый минимальный элемент этой строки, это -9. Цифра стоит в третьем столбце. Преобразуйте соответствующую переменную x3 в базисную. Для этого разделите строку на 3, чтобы в ячейке получилась 1.

Теперь нужно, чтобы ячейки и обратились в 0. Для этого отнимите от соответствующие цифры третьей строки, на 3. От элементов второй строки - элементы третьей, умноженные на 2. И, наконец, от элементов строки L - умноженные на (-9). Вы получили второе опорное решение: f(x) = L = 54 при x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).


. Алгоритм симплекс-метода

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация:

х3 , х4 , х5 , х6 х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функциюк следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.3

Исходная симплекс-таблица

Оценочные отношения

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности.

Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.

Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1 » и колонка «х2 ». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2 » содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1

Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.

Таблица 5.4

Исходная симплекс-таблица

В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5 », следовательно, она будет разрешающей.

Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5 » и колонки «х2 ».

Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2 , в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.

9.1. Преобразование разрешающего элемента.

Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:

Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.

9.2. Преобразование разрешающей строки.

Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.

9.3. Преобразование разрешающей колонки.

Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.

9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.

Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».

К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3 » и колонки «», условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:

«х3 »: .

Аналогично преобразуются значения других клеток:

«х3 х1 »: ;

«х4 »: ;

«х4 х1 »: ;

«х6 »: ;

«х6 х1 »: ;

«»: ;

«х1 »: .

В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).

II итерация:

1 этап: составление симплекс-таблицы.

Таблица 5.5

Симплекс-таблица II итерации

Оценочные

отношения

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):

Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.6

Симплекс-таблица II итерации

Оценочные

отношения

3/1=3 – min

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.

III итерация

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.7

Симплекс-таблица III итерации

Оценочные

отношения

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.8

Симплекс-таблица III итерации

Оценочные

отношения

5/5=1 – min

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.

IV итерация

1 этап: построение новой симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.9

Симплекс-таблица IV итерации

Оценочные

отношения

–(–3/5)=3/5

–(1/5)=–1/5

–(9/5)=–9/5

–(–3/5)=3/5

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

7 этап: проверка альтернативности решения.

Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при.

Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3 , х4 , х5 , х6 , тогда свободными переменными будут х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные.

Краткая теория

Для решения задач линейного программирования предложено немало различных методов. Однако наиболее эффективным и универсальным среди них оказался симплекс-метод. При этом следует отметить, что при решении некоторых задач могут оказаться более эффективными другие методы. Например, при ЗЛП с двумя переменными оптимальным является , а при решении - метод потенциалов. Симплекс-метод является основным и применимым к любой ЗПЛ в канонической форме.

В связи с основной теоремой линейного программирования естественно возникает мысль о следующем пути решения ЗЛП с любым числом переменных. Найти каким-нибудь способом все крайние точки многогранника планов (их не больше, чем ) и сравнить в них значения целевой функции. Такой путь решения даже с относительно небольшим числом переменных и ограничений практически неосуществим, так как процесс отыскания крайних точек сравним по трудности с решением исходной задачи, к тому же число крайних точек многогранника планов может оказаться весьма большим. В связи с этими трудностями возникла задача рационального перебора крайних точек.

Суть симплексного метода в следующем. Если известны какая-нибудь крайняя точка и значение в ней целевой функции, то все крайние точки, в которых целевая функция принимает худшее значение, заведомо не нужны. Отсюда естественно стремление найти способ перехода от данной крайней точки к смежной по ребру лучшей, от нее к еще лучшей (не худшей) и т. д. Для этого нужно иметь признак того, что лучших крайних точек, чем данная крайняя точка, вообще нет. В этом и состоит общая идея наиболее широко применяемого в настоящее время симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП. Итак, в алгебраических терминах симплексный метод предполагает:

  1. умение находить начальный опорный план;
  2. наличие признака оптимальности опорного плана;
  3. умение переходить к нехудшему опорному плану.

Пример решения задачи

Условие задачи

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве , , , единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве , единиц, ресурсов второго вида в количестве , единиц, ресурсов третьего вида в количестве , единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно , , тыс. руб.

  • Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
  • К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линейного программирования.
  • Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач.
  • Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.

Если ваш допуск к сессии зависит от решения блока задач, а у вас нет ни времени, ни желания садиться за расчёты – используйте возможности сайта сайт. Заказ задач – дело нескольких минут. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить решение задач по линейному программированию...

Решение задачи

Построение модели

Через обозначим товарооборот 1-го, 2-го и третьего вида товаров соответственно.

Тогда целевая функция, выражающая получаемую прибыль:

Ограничения по материально-денежным ресурсам:

Кроме того, по смыслу задачи

Получаем следующую задачу линейного программирования:

Приведение к каноническому виду ЗЛП

Приведем задачу к каноническому виду. Для преобразования неравенств в равенства введем дополнительные переменные . Переменные входят в ограничения с коэффициентом 1. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части левая часть имеет переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а остальные ограничения-равенства - с коэффициентом, равным нулю. В нашем случае 1-е, 2-е, 3-е ограничения имеют предпочтительный вид с соответствующими базисными переменными .

Решение симплекс-методом

Заполняем симплексную таблицу 0-й итерации.

БП Симплексные
отношения 		8 6 4 0 0 0 0 520 16 18 9 1 0 0 65/2 0 140 7 7 2 0 1 0 20 0 810 9 2 1 0 0 1 90 0 -8 -6 -4 0 0 0

Так как мы решаем задачу на максимум – наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и что от таблицы 0-й итерации необходимо перейти к следующей.

Переход к следующей итерации осуществляем следующим образом:

Ведущий столбец соответствует .

Ключевая строка определяется по минимуму соотношений свободных членов и членов ведущего столбца (симплексных отношений):

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е.7.

Теперь приступаем к составлению 1-й итерации. Вместо единичного вектора вводим вектор .

В новой таблице на месте разрешающего элемента пишем 1, все остальные элементы ключевого столбца –нули. Элементы ключевой строки делятся на разрешающий элемент. Все остальные элементы таблицы вычисляются по правилу прямоугольника.

Получаем таблицу 1-й итерации:

БП Симплексные
отношения 		8 6 4 0 0 0 0 200 0 2 31/7 1 -16/7 0 1400/31 8 20 1 1 2/7 0 1/7 0 70 0 630 0 -7 -11/7 0 -9/7 1 - 160 0 2 -12/7 0 8/7 0

Ключевой столбец для 1-й итерации соответствует .

Находим ключевую строку, для этого определяем:

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 31/7.

Вектор выводим из базиса и вводим вектор .

Получаем таблицу 2-й итерации:

БП Симплексные
отношения 		8 6 4 0 0 0 4 1400/31 0 14/31 1 7/31 -16/31 0 8 220/31 1 27/31 0 -2/31 9/31 0 0 21730/31 0 -195/31 0 11/31 -65/31 1 7360/31 0 86/31 0 12/31 8/31 0

В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):

Таким образом, необходимо продавать 7,1 тыс.р. товара 1-го вида и 45,2 тыс.р. товара 3-го вида. Товар 2-го вида продавать невыгодно. При этом прибыль будет максимальна и составит 237,4 тыс.р. При реализации оптимального плана остаток ресурса 3-го вида составит 701 ед.

Двойственная задача ЛП

Запишем модель двойственной задачи.

Для построения двойственной задачи необходимо пользоваться следующими правилами:

1) если прямая задача решается на максимум, то двойственная - на минимум, и наоборот;

2) в задаче на максимум ограничения-неравенства имеют смысл ≤, а в задаче минимизации - смысл ≥;

3) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, и наоборот, каждому ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;

4) матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы системы ограничений исходной задачи транспонированием;

5) свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи, и наоборот;

6) если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, если же нет, то как ограничение-равенство;

7) если какое-либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.

Транспонируем матрицу исходной задачи:

Приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю. Дополнительные переменные прибавим к левым частям ограничений, не имеющих предпочтительного вида, и получим равенства.

Решение двойственной задачи ЛП

Соответствие между переменными исходной и двойственной задачи:

На основании симплексной таблицы получено следующее решение двойственной задачи линейного программирования (выписываем из нижней строки):

Таким образом, наиболее дефицитным является ресурс первого вида. Его оценка максимальна и равна . Ресурс третьего вида является избыточным -его двойственная оценка равна нулю . Каждая дополнительно проданная единица товара 2-й группы будет снижать оптимальную прибыль на
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.

Решение транспортной задачи
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.

Принятие решений в условиях неопределенности
Рассмотрено решение статистической матричной игры в условиях неопределенности с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. На примере задачи подробно показано построение платежной матрицы и матрицы рисков.



Рекомендуем почитать