Когда занимаешься настройками сетей различного масштаба и каждый день сталкиваешься с вычислениями – то такого рода шпаргалки заводить не обязательно, все и так делается на безусловном рефлексе. Но когда в сетях ковыряешься очень редко, то не всегда вспомнишь какая там маска в десятичной форме для префикса 21 или же какой адрес сети при этом же префиксе. В связи с этим я и решил написать несколько маленьких статей-шпаргалок по переводом чисел в различные системы счислений, сетевым адресам, маскам и т.п. В это части пойдет речь о переводи чисел в различные системы счислений.

1. Системы счислений

Когда вы занимаетесь чем-то связанным с компьютерными сетями и ИТ, вы по любому столкнетесь с этим понятием. И как толковый ИТ-шник вам нужно разбираться в этом хотя бы чу-чуть даже если на практике вы это будете применять очень редко.
Рассмотрим перевод каждой цифры из IP-адреса 98.251.16.138 в следующие системы счислений:

• Двоичная
• Восьмеричная
• Десятичная
• Шестнадцатеричная

1.1 Десятичная

Так как цифры записаны в десятичной, перевод с десятичной в десятичную пропустим 🙂

1.1.1 Десятичная → Двоичная

Как мы знаем двоичная система счисления используется практически во всех современных компьютерах и многих других вычислительных устройствах. Система очень проста – у нас есть только 0 и 1.
Для преобразования числа с десятиной в двоичную форму нужно использовать деление по модулю 2 (т.е. целочисленное деление на 2) в результате чего мы всегда будем иметь в остатке либо 1, либо 0. При этом результат записываем справа налево. Пример все поставит на свои места:

Рисунок 1.1 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему

Рисунок 1.2 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему

Опишу деление числа 98. Мы делим 98 на 2, в результате имеем 49 и остаток 0. Далее продолжаем деление и делим 49 на 2, в результате имеем 24 с остатком 1. И таким же образом добираемся до 1-ки или 0-ка в делимом. Затем результат записываем справа налево.

1.1.2 Десятичная → Восьмеричная

Восьмеричная система – это целочисленная система счисления с основанием 8. Т.е. все числа в ней представлены диапазоном 0 – 7 и для перевода с десятичной системы нужно использовать деление по модулю 8.

Рисунок 1.3 – Перевод чисел из десятичной в восьмеричную систему

Деление аналогично 2-чной системе.

1.1.3 Десятичная → Шестнадцатеричная

Шестнадцатеричная система почти полностью вытеснила восьмеричную систему. У нее основание 16, но используются десятичные цифры от 0 до 9 + латинские буквы от A(число 10) до F(число 15). С ней вы сталкиваетесь каждый раз, когда проверяете настройки сетевого адаптера — это МАС-адрес. Так же, когда используется IPv6.

Рисунок 1.4 – Перевод чисел из десятичной в шестнадцатеричную систему

1.2 Двоичная

В предыдущем примере мы перевели все десятичные числа в другие системы счислений, одна из которых двоичная. Теперь переведем каждое число с двоичной формы.

1.2.1 Двоичная → Десятичная

Для перевода чисел с двоичной формы в десятичную нужно знать два нюанса. Первый – у каждого нолика и единички есть множитель 2 в n-й степени, при котором n увеличивается справа налево ровно на единичку. Второй – после перемножения все числа нужно сложить и мы получим число в десятичной форме. В итого у нас будет формула такого вида:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Где,
D – это число в десятичной форме, которое мы ищем;
n – количество символов в двоичном числе;
a – число в двоичной форме на n-й позиции (т.е. первый символ, второй, и т.п.);
p – коэффициент, равный 2,8 или 16 в степени n (в зависимости от системы счисления)

К примеру возьмем число 110102. Смотрим на формулу и записываем:

• Число состоит из 5 символов (n =5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (так как переводим из двоичной в десятичную)

В итоге имеем:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Кто привык записывать справа на лево, форму будет выглядеть так:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Но, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется. Давайте теперь переведем наши числа в десятичную форму.

Рисунок 1.5 – Перевод чисел из двоичной в десятичную систему

1.2.2 Двоичная → Восьмеричная

При переводе нам нужно двоичное число разбить на группы по три символа справа налево. Если последняя группа не состоит из трех символов, то мы просто возмещаем недостающие биты ноликами. К примеру:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Каждая группа битов – это одно из восьмеричных чисел. Чтобы узнать какое, нужно использовать написанную выше формулу 1.2.1 для каждой группы битов. В результате мы получим.

Рисунок 1.6 – Перевод чисел из двоичной в восьмеричную систему

1.2.3 Двоичная → Шестнадцатеричная

Здесь нам нужно двоичное число разбивать на группы по четыре символа справа налево с последующим дополнением недостающих битов группы ноликами, как писалось выше. Если последняя группа состоит из ноликов, то их нужно игнорировать.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Каждая группа битов – это одно из шестнадцатеричных чисел. Используем формулу 1.2.1 для каждой группы битов.

Рисунок 1.7 – Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему

1.3 Восьмеричная

В этой системе у нас могут возникнуть сложности только при переводе в 16-ричную систему, так как остальной перевод проходит гладко.

1.3.1 Восьмеричная → Двоичная

Каждое число в восьмеричной системе – это группа из трех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам нужно воспользоваться табличкой-шпаргалкой:

Рисунок 1.8 – Шпора по переводу чисел из восьмеричной системы

Используя эту табличку переведем наши числа в двоичную систему.

Рисунок 1.9 – Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему

Немного опишу вывод. Первое число у нас 142, значит будет три группы по три бита в каждой. Юзаем шпору и видим, что цифра 1 это 001, цифра 4 это 100 и цифра 2 это 010. В результате имеем число 001100010.

1.3.2 Восьмеричная → Десятичная

Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 8 (т.е. p=8). В результате имеем

Рисунок 1.10 – Перевод чисел из восьмеричной в десятеричную систему

• Число состоит из 3 символов (n =3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (так как переводим из восьмеричной в десятичную)

В результате имеем:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Восьмеричная → Шестнадцатеричная

Как писалось раньше, для перевода нам нужно сначала перевести числа в двоичную систему, потом с двоичной в шестнадцатеричную, поделив на группы по 4-ре бита. Можно использовать следующею шпору.

Рисунок 1.11 – Шпора по переводу чисел из шестнадцатеричной системы

Эта табличка поможет перевести из двоичной в шестнадцатеричную систему. Теперь переведем наши числа.

Рисунок 1.12 – Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему

1.4 Шестнадцатеричная

В этой системе та же проблема, при переводе в восьмеричную. Но об этом позже.

1.4.1 Шестнадцатеричная → Двоичная

Каждое число в шестнадцатеричной системе – это группа из четырех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам можно воспользоваться табличкой-шпаргалкой, которая находиться выше. В результате:

Рисунок 1.13 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему

Возьмем первое число – 62. Используя табличку (рис. 1.11) мы видим, что 6 это 0110, 2 это 0010, в результате имеем число 01100010.

1.4.2 Шестнадцатеричная → Десятичная

Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 16 (т.е. p=16). В результате имеем

Рисунок 1.14 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в десятеричную систему

Возьмем первое число. Исходя из формулы 1.2.1:

• Число состоит из 2 символов (n =2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (так как переводим из шестнадцатеричной в десятичную)

В результате имеем.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Шестнадцатеричная → Восьмеричная

Для перевода в восьмеричную систему нужно сначала перевести в двоичную, затем разбить на группы по 3-и бита и воспользоваться табличкой (рис. 1.8). В результате:

Рисунок 1.15 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему

В пойдет речь о IP-адресах, масках и сетях.

Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Цели урока:

• повторить изученный материал по теме система счисления;
• научится переводить число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления и наоборот;
• освоить принципы перевода чисел из одной системы в другую;
• развивать логическое мышление.

Ход урока

Вначале урока краткое повторение и проверка домашнего задания..

В каком виде представлена числовая информация в памяти компьютера?

Для чего используются системы счисления?

Какие виды систем счисления вы знаете? Привести свои примеры.

Чем отличаются позиционные системы от непозиционных?.

Цель нашего урока научится переводить число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления и наоборот. Но в начале мы рассмотрим, как можно

представить любое целое неотрицательное чисело:

В позиционных системах значение записи целого числа определяется по следующему правилу: пусть a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 - запись числа A, а i – цифры, тогда

где p - целое число большее 1, которое называется основанием системы счисления

Для того, чтобы при заданном p любое неотрицательное целое число можно было бы записать по формуле (1) и притом единственным образом, числовые значения различных цифр должны быть различными целыми числами, принадлежащими отрезку от 0 до p-1.

1) Десятичная система

цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

число 5735 = 5·10 3 +7·10 2 +3·10 1 +8·10 0

2) Троичная система

цифры: 0,1,2

число 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0

Замечание: нижним индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел:

Во всех позиционных системах для записи отрицательных чисел так же как и в десятичной системе используется знак ‘–‘. Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Значение записи a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m числа A определяется по формуле, являющейся обобщением формулы (1):

75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1

–2,314 5 = –(2·5 0 +3·5 –1 +1·5 –2 +4·5 –3)

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную:

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную.

Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему. Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Понятно, что не всегда ответ столь очевиден. В общем случае применяется способ перевода отдельно целой и дробной частей числа.

Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм (полученный на основании формулы (1)):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток будет очередной цифрой ai (j=0,1,2 …) записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к частному пункт 1.

Замечание 1. Цифры ai в записи числа нумеруются справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10.

Перевести число 165 в семеричную систему счисления.

165:7 = 23 (остаток 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (остаток 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (остаток 3) => a 2 = 3

Выпишем результат: a 2 a 1 a 0 , т.е. 3247.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода:

3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2):

1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной цифрой am (m = –1,–2, –3 …) записи числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

Замечание 1. Цифры a m в записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2. Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма.

Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления.

0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) => a -1 =1

0,25·2 = 0,5 (целая часть 0) => a- 2 = 0

0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) => a- 3 = 1

Итак, 0,62510 = 0,1012

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода:

0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами.

0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a -1 =0

0,66·4 = 2,64 (целая часть 2) => a -2 = 2

0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a -3 = 2

0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a -4 = 2

Итак, 0,16510 ” 0,02224

Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что абсолютная погрешность не превышает 4–4:

0,02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Перевод чисел из одной произвольной системы в другую

В этом случае сначала следует выполнить перевод числа в десятичную систему, а затем из десятичной в требуемую.

Особым способом выполняется перевод чисел для систем с кратными основаниями.

Пусть p и q – основания двух систем счисления. Будем называть эти системы системами счисления с кратными основаниями, если p = qn или q = pn, где n – натуральное число. Так, например, системы счисления с основаниями 2 и 8 являются системами счисления с кратными основаниями.

Пусть p = qn и требуется перевести число из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p. Разобьем целую и дробную части записи числа на группы по n последовательно записанных цифр влево и вправо от запятой. Если количество цифр в записи целой части числа не кратно n, то надо дописать слева соответствующее количество нулей. Если количество цифр в записи дробной части числа не кратно n, то нули дописываются справа. Каждая такая группа цифр числа в старой системе счисления будет соответствовать одной цифре числа в новой системе счисления.

Переведем 1100001,111 2 в четверичную систему счисления.

Дописав нули и выделив пары цифр, получим 01100001,11102.

Теперь выполним перевод отдельно каждой пары цифр, пользуясь пунктом Перевод чисел из одной произвольной системы в другую.

Итак, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Пусть теперь требуется выполнить перевод из системы с большим основанием q, в систему с меньшим основанием p, т.е. q = p n . В этом случае одной цифре числа в старой системе счисления соответствует n цифр числа в новой системе счисления.

Пример: Выполним проверку предыдущего перевода числа.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

В шестнадцатеричной системе есть цифры с числовыми значениями 10,11,12, 13,14,15. Для их обозначения используют первые шесть букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F.

Приведем таблицу чисел от 0 до 16, записанных в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.

Число в десятичной системе счисления	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
В восьмеричной	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
В двоичной	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
В шестнадцатеричной	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10

Для записи шестнадцатеричных цифр можно использовать также строчные латинские буквы a-f.

Пример: Переведем число 110101001010101010100,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.

Воспользуемся кратностью оснований систем счисления (16=2 4). Сгруппируем цифры по четыре, дописав, слева и справа нужное количество нулей

000110101001010101010100,1100 2

и, сверяясь с таблицей, получим: 1A9554,C 16

Вывод:

В какой системе счисления лучше записывать числа – это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используются только две цифры 0 и 1, которые можно представить двумя легко различимыми состояниями “нет сигнала ” и “есть сигнал”.

А человеку, напротив, неудобно иметь дело с двоичными записями чисел из-за того, что они более длинные, чем десятичные и в них много повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости работать с машинными представлениями чисел используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Основания этих систем – целые степени двойки, и поэтому числа легко переводятся из этих систем в двоичную и обратно.

Записываем задание на дом:

а) Запишите дату рождения всех членов вашей семьи в различных системах счисления.

б) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,011 2 ;

Чтобы быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, нужно хорошо знать числа "2 в степени". Например, 2 10 =1024 и т.д. Это позволит решать некоторые примеры на перевод буквально за секунды. Одной из таких задач является задача A1 из демо ЕГЭ 2012 года . Можно, конечно, долго и нудно делить число на "2". Но лучше решать по-другому, экономя драгоценное время на экзамене.

Метод очень простой. Суть его такая: если число, которое нужно перевести из десятичной системы, равно числу "2 в степени", то это число в двоичной системе содержит количество нулей, равное степени. Впереди этих нулей добавляем "1".

• Переведем число 2 из десятичной системы. 2=2 1 . Поэтому в двоичной системе число содержит 1 нуль . Впереди ставим "1" и получаем 10 2 .
• Переведем 4 из десятичной системы. 4=2 2 . Поэтому в двоичной системе число содержит 2 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 100 2.
• Переведем 8 из десятичной системы. 8=2 3 . Поэтому в двоичной системе число содержит 3 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 1000 2.

Аналогично и для других чисел "2 в степени".

Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.

• Переведем 3 из десятичной системы. 3=2 2 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 2 единицы . Получаем 11 2.
• Переведем 7 из десятичной системы. 7=2 3 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 единицы . Получаем 111 2.

На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.

Аналогичен перевод и для других чисел "2 в степени-1".

Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто знать наизусть их представление в двоичной системе. Я привела эти примеры, чтобы Вы поняли принцип данного метода и использовали его для перевода более "внушительных чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.

Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени". Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая. Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без перевода.

Если число больше , то решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.

Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1". Решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.

Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех , то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.

Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно 512 и 16.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Теперь сложим столбиком:

Правило. Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления. Полученное частное вновь поделить на основание новой системы счисления, и выполнять деление до тех пор. пока частное не будет меньше основания новой системы счисления. Полученные остатки от деления, начиная с последнего, записываются в обратном порядке. Это и будет запись числа в новой системе счисления.

Пример. Число 135 перевести из 10-тичной СС в 2-ичную, 8-ричную и 16-ричную системы счисления.

1)

2)

3)

Задание 2.

Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС следующие числа 1275,973, 172

Обратный перевод чисел из любой СС в 10-тичную.

1) Чтобы перевести число из любой СС в исходную СС (обратный перевод), нужно каждую цифру этого числа умножить на основание исходной СС. начиная с нулевой цифры справа налево, и произведения сложить. Если переводится десятичная дробь, следует применить правило для записи целой и дробной части числа.

2) Обратный перевод чисел осуществляется по формуле:

где A – заданное число,

g – основание СС заданного числа (=2 для 2-ичной СС, для других СС - подобно),

m – число цифр в целой части числа.

n – число цифр в дробной части числа,

a – значение цифр заданного числа(запись дробной части числа выделена синим цветом).

110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10

66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10

13,4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0.5=11.5 10 (это число – десятичная дробь)

Задание3.

Перевести в десятичную СС следующие числа:

101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2

125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8

A19BA 16 =2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16

Перевод чисел с основанием, являющимся степенью числа 2 и обратный перевод. К таким СС относятся двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Правило. Перевод из двоичной СС в восьмеричную СС. Двоичное число делится на группы по 3 цифры с конца(справа налево) и каждая группа преобразуется числом в новом СС

10.000.101 2 =205 8

111.000.101.100 2 =7054 8

1.011.001.101 2 =1315 8

Правило. Для обратного преобразования каждая восьмеричная цифра записывается в виде триады.

Правило. Из двоичной СС в шестнадцатеричную СС: аналогично, но отделяем по 4 цифры

0110.0110.1011 2 =66B 16

1011.1111.0111 2 =BF7 16

10.1010.0111.0001 2 =2A71 16

Правило. Для обратного преобразования каждая шестнадцатеричная цифра записывается в виде тетрады.

Перевод правильных и неправильных дробей в разных СС. Если нужно перевести обыкновенную дробь, то сначала ее нужно перевести в десятичную дробь, а затем применить правила перевода десятичных дробей.

Правило. Перевод десятичных дробей, меньших единицы (правильные дроби).

1) необходимо отделить вертикальной чертой дробную часть;

2) умножить дробную часть на основании новой системы счисления;

3) результат записать строго под исходным числом, начиная с младшего разряда; если получится перенос в целую часть, то записать ее слева от черты;

4) умножение дробной части проводится до тех пор пока не будет получено число с заданной точностью, либо справа от черты не будет 0.

0,728 10 =0,564 8

Задание 4. Перевести из десятичной СС в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС следующие правильные дроби: .