H() – частотно-зависимая комплексная функция. Ее модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а арктангенс отношения мнимой и вещественной частей – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На векторной диаграмме представлена геометрическая интерпретация передаточной функции. С ее помощью легко понять, как получаются выражения для АЧХ и ФЧХ.

Поскольку выражения для АЧХ и ФЧХ содержат частотно-зависимые компоненты, естественно, что обе эти характеристики частотно-зависимые (отсюда их названия). По сути, именно эту особенность мы и используем для фильтрации.

Рассмотрим выражения для АЧХ в двух крайних точках. При частоте = 0 на входе имеем постоянный ток, значение АЧХ стремится к нулю вследствие большой величины знаменателя. В другой крайней точке частотастремится к бесконечности, а значение АЧХ приближается к единице. Это дает нам представление о поведении АЧХ как функции частоты.

Еще одной важной точкой на графике АЧХ является «частота среза». Она задается как точка, в которой значение АЧХ падает до (1/
) от своей величины в полосе пропускания, и обычно называется «точкой 3 дБ». Ее можно рассчитать, используя выражение для АЧХ, после возведения в квадрат обеих частей равенства. Частота срезаf c = 1/2RC указывает на точку перегиба в ФЧХ фильтра. У ФВЧ, за частотой среза практически отсутствует затухание входного сигнала.

ФЧХ можно рассчитать по соответствующему выражению. ФЧХ начинается с 90-градусным опережением на низких частотах и падает до 45 о на частоте среза. За частотой среза и далее, в направлении более высоких частот, сдвиг фазы продолжает падать. Во всех реальных приложениях нас интересует поведение ФЧХ в полосе пропускания. В данном конкретном случае ФЧХ в полосе пропускания изменяется от 45 о (опережение фазы) до 0 о. Возможно, что это отвечает требованиям для ряда приложений, например таких, как низкокачественная запись речи.

1. Фильтр нижних частот

Простой ФНЧ представляет собой RC-цепочку, состоящую из конденсатора и резистора. Характеристики ФНЧ очень похожи на характеристики ФВЧ, который мы только что рассмотрели. Единственная разница заключается в том, что они повернуты по частоте в обратном направлении (реверсируются), как и ожидалось. АЧХ опускается ниже единицы за частотой среза. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на 45 о на частоте среза, и это отставание возрастает до 90 о на более высоких частотах.

Мы познакомились с двумя очень простыми фильтрами. Теперь мы знаем, что сигнал ослабляется на определенных частотах, а фаза выходного сигнала изменяется с частотой. Но как убедиться в том, что характеристики фильтра отвечают нашим целям? Что является критерием при сравнении характеристик фильтров?

Теперь определимся с терминологией и сформулируем некоторые требования к характеристикам фильтров.

1. Ачх в дБ и частота в декадах

Диапазон возможных чисел будет больше, а количество нулей в записи числа меньше, если представлять числа в логарифмическом масштабе. Традиционно АЧХ фильтров представляется в децибелах (дБ). Децибел определяется следующим образом: АЧХ (дБ) = 20 lg (АЧХ).

Декада – это единица измерения, используемая для частоты, которая, аналогично децибелам, позволяет охватить больший диапазон частот нетривиальным способом. Например, спад 20 дБ/декада означает, что затухание фильтра увеличивается на 20 дБ за каждую декаду частоты ) .

Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.

Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой А вх = 1 и некоторой частотой w, т.е.

x(t) = А вх sin(wt) = sin(wt).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигнал той же частоты w, но другой амплитуды А вых и фазы j:

у(t) = А вых sin(wt + j)

При разных значениях w величины А вых и j, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой.

Виды ЧХ:

·

у” « s 2 Y и т.д.

Определим производные ЧХ:

у’(t) = jw А вых е j (w t + j) = jw у,

у”(t) = (jw) 2 А вых е j (w t + j) = (jw) 2 у и т.д.

Отсюда видно соответствие s = jw.

Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jw.

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

, ,

где Re(w) и Im(w) - соответственно вещественная и мнимая части выражения для АФХ.

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re(w) = A(w) . cos j(w), Im(w) = A(w) . sin j(w).

График АЧХ всегда расположен в одной четверти, т.к. частота w > 0 и амплитуда А > 0. График ФЧХ может располагаться в двух четвертях, т.е. фаза j может быть как положительной, так и отрицательной. График АФХ может проходить по всем четвертям.

При графическом построении АЧХ по известной АФХ на кривой АФХ выделяются несколько ключевых точек, соответствующих определенным частотам. Далее измеряются расстояния от начала координат до каждой точки и на графике АЧХ откладываются: по вертикали - измеренные расстояния, по горизонтали - частоты. Построение АФХ производится аналогично, но измеряются не расстояния, а углы в градусах или радианах.

Для графического построения АФХ необходимо знать вид АЧХ и ФЧХ. При этом на АЧХ и ФЧХ выделяются несколько точек, соответствующих некоторым частотам. Для каждой частоты по АЧХ определяется амплитуда А, а по ФЧХ - фаза j. Каждой частоте соответствует точка на АФХ, расстояние до которой от начала координат равно А, а угол относительно положительной полуоси Re равен j. Отмеченные точки соединяются кривой.

Пример : .

При s = jw имеем

= = = =

Я купил bluetooth-наушники Motorola Pulse Escape. Звучание в целом понравилось, но остался непонятен один момент. Согласно инструкции, в них имеется переключение эквалайзера. Предположительно, наушники имеют несколько вшитых настроек, которые переключаются по кругу. К сожалению, я не смог определить на слух, какие там настройки и сколько их, и решил выяснить это при помощи измерений.

Итак, мы хотим измерить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) наушников — это график, который показывает, какие частоты воспроизводятся громче, а какие — тише. Оказывается, такие измерения можно произвести «на коленке», без специальной аппаратуры.

Нам понадобится компьютер с Windows (я использовал ноутбук), микрофон, а также источник звука — какой-нибудь плеер с bluetooth (я взял смартфон). Ну и сами наушники, конечно.

(Под катом — много картинок).

Подготовка

Вот такой микрофон у меня нашёлся среди старых гаджетов. Микрофон копеечный, для разговоров, не предназначенный ни для записи музыки, ни тем более не для измерений.

Конечно, такой микрофон имеет свою АЧХ (и, забегая вперёд, диаграмму направленности), поэтому сильно исказит результаты измерений, но для поставленной задачи подойдёт, потому что нас интересуют не столько абсолютные характеристики наушников, сколько то, как они изменяются при переключении эквалайзера.

У ноутбука имелся всего один комбинированный аудиоразъём. Подключаем туда наш микрофон:

Windows спрашивает, что за прибор мы подключили. Отвечаем, что это микрофон:

Windows — немецкий, извините. Я ведь обещал использовать подручные материалы.

Тем самым единственный аудиоразъём оказывается занятым, поэтому и нужен дополнительный источник звука. Скачиваем на смартфон специальный тестовый аудиосигнал — так называемый розовый шум. Розовый шум — это звук, содержащий весь спектр частот, причём равной мощности по всему диапазону. (Не путайте его с белым шумом! У белого шума другое распределение мощности, поэтому его нельзя использовать для измерений, это грозит повреждением динамиков).

Настраиваем уровень чувствительности микрофона. Нажимаем правую кнопку мыши на значке громкоговорителя в Windows и выбираем регулировку устройств записи:

Находим наш микрофон (у меня он получил название Jack Mic):

Выбираем его в качестве устройства записи (птичка в зелёном кружочке). Выставляем ему уровень чувствительности поближе к максимуму:

Microphone Boost (если есть) убираем! Это автоматическая подстройка чувствительности. Для голоса — хорошо, а при измерениях будет только мешать.

Устанавливаем на ноутбук измерительную программу. Я люблю TrueRTA за возможность видеть сразу много графиков на одном экране. (RTA — по-английски АЧХ). В бесплатной демо-версии программа измеряет АЧХ с шагом в октаву (то есть соседние точки измерения отличаются по частоте в 2 раза). Это, конечно, очень грубо, но для наших целей сойдёт.

При помощи скотча закрепляем микрофон около края стола, так чтобы его можно было накрыть наушником:

Важно зафиксировать микрофон, чтобы не сдвинулся в процессе измерений. Подсоединяем наушники проводом к смартфону и кладём одним наушником поверх микрофона, так чтобы плотно закрыть его сверху — примерно так наушник охватывает человеческое ухо:

Второй наушник свободно висит под столом, из него мы будем слышать включённый тестовый сигнал. Убеждаемся, что наушники лежат стабильно, их тоже нельзя сдвигать в процессе измерений. Можно начинать.

Измерения

Запускаем программу TrueRTA и видим:

Основная часть окна — поле для графиков. Слева от него находятся кнопки генератора сигналов, он нам не понадобится, потому что у нас внешний источник сигнала, смартфон. Справа — настройки графиков и измерений. Сверху — ещё кое-какие настройки и управление. Ставим белый цвет поля, чтобы лучше видеть графики (меню View → Background Color → White).

Выставляем границу измерений 20 Hz и количество измерений, скажем, 100. Программа будет автоматически делать указанное количество измерений подряд и усреднять результат, для шумового сигнала это необходимо. Выключаем отображение столбчатых диаграмм, пусть вместо них рисуются графики (кнопка сверху с изображением столбиков, отмечена на следующем скриншоте).

Сделав настройки, производим первое измерение — это будет измерение тишины. Закрываем окна и двери, просим детей помолчать и нажимаем Go:

Если всё сделано правильно, в поле начнёт вырисовываться график. Подождём, пока он стабилизируется (перестанет «плясать» туда-сюда) и нажмём Stop:

Видим, что «громкость тишины» (фоновых шумов) не превышает -40dBu, и выставляем (регулятор dB Bottom в правой части окна) нижнюю границу отображения в -40dBu, чтобы убрать фоновый шум с экрана и покрупнее видеть график интересующего нас сигнала.

Теперь будем измерять настоящий тестовый сигнал. Включаем плеер на смартфоне, начав с малой громкости.

Запускаем измерение в TrueRTA кнопкой Go и постепенно прибавляем громкость на смартфоне. Из свободного наушника начинает доноситься шипящий шум, а на экране возникает график. Добавляем громкость, пока график не достигнет по высоте примерно -10...0dBu:

Дождавшись стабилизации графика, останавливаем измерение кнопкой Stop в программе. Плеер тоже пока останавливаем. Итак, что мы видим на графике? Неплохие басы (кроме самых глубоких), некоторый спад к средним частотам и резкий спад к верхним частотам. Напоминаю, что это не настоящая АЧХ наушников, свой вклад вносит микрофон.

Этот график мы возьмем в качестве эталонного. Наушники получали сигнал по проводу, в этом режиме они работают как пассивные динамики без всяких эквалайзеров, их кнопки не действуют. Занесём график в память номер 1 (через меню View → Save to Memory → Save to Memory 1 или нажав Alt+1). В ячейках памяти можно сохранять графики, а кнопками Mem1..Mem20 в верхней части окна включать или отключать показ этих графиков на экране.

Теперь отсоединяем провод (как от наушников, так и от смартфона) и подключаем наушники к смартфону по bluetooth, стараясь не сдвинуть их на столе.

Снова включаем плеер, запускаем измерение кнопкой Go и, регулируя громкость на смартфоне, приводим новый график по уровню к эталонному. Эталонный график изображён зелёным, а новый — синим:

Останавливаем измерение (плеер можно не выключать, если не раздражает шипение из свободного наушника) и радуемся, что по bluetooth наушники выдают такую же АЧХ, как по проводу. Заносим график в память номер 2 (Alt+2), чтоб не ушёл с экрана.

Теперь переключаем эквалайзер кнопками наушников. Наушники рапортуют бодрым женским голосом «EQ changed». Включаем измерение и, дождавшись стабилизации графика, видим:

Хм. Кое-где есть отличия в 1 децибел, но это как-то несерьёзно. Скорее похоже на погрешности измерений. Заносим и этот график в память, переключаем эквалайзер ещё раз и после измерения видим ещё один график (если очень хорошо присмотреться):

Ну, вы уже поняли. Сколько я ни переключал эквалайзер на наушниках, никаких изменений это не давало!

На этом, в принципе, можно заканчивать работу и делать вывод: у этих наушников работающего эквалайзера нет . (Теперь понятно, почему его не получалось услышать).

Однако тот факт, что мы не увидели никаких изменений в результатах, огорчает и даже вызывает сомнения в правильности методики. Может, мы измеряли что-то не то?

Бонусные измерения

Чтобы убедиться, что мы измеряли АЧХ, а не погоду на Луне, давайте покрутим эквалайзер в другом месте. У нас же есть плеер в смартфоне! Воспользуемся его эквалайзером:

По определению, частотная характеристика параметра цепи есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала

H(jω) = Y m /X m .

Таким образом, частотная характеристика есть функция комплексной переменной jω – комплексной частоты, и ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ), которую в показательной форме можно записать:

H(jω) = Y m /X m =(Y m е j φ y)/ (X m е j φ x) = (Y m /X m)е j φ(ω)

Из записанного выражения следует, что комплексная функция состоит из двух действительных функций:

1. H(ω) = Y m /X m – АЧХ;

2. φ(ω) = φ y - φ x - ФЧХ.

Измерение АЧХ и ФЧХ с помощью генератора и осциллографа слишком трудоемко, значительно проще проводить измерения с помощью измерителя диаграмм Боде, входящего в состав виртуальной электронной лаборатории EWB. Передняя панель и его выводы показаны на рис.1.1.

В режиме измерения АЧХ (Magnitude) на экран выводится график зависимости от частоты отношения U my /U mx , где U my -амплитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах OUT - “ВЫХОД”, а U mx – амплитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах IN - “ВХОД”. В режиме измерения ФЧХ (Phase) на экран выводится график зависимости от частоты фазового сдвига между гармоническими сигналами по напряжению U my на выводах “ВЫХОД”, и - U mx на выводах “ВХОД”.

Настройка измерителя заключается в выборе масштабов по осям: логарифмический (кнопка LOG) или линейный (кнопка LIN), и в выборе пределов измерения по вертикальной и горизонтальной осям с помощью кнопок в окошках F – максимальное значение и I – минимальное значение.

Измерение конкретных значений АЧХ и ФЧХ можно проводить с помощью вертикальной визирной линии, которая в исходном положении находится в начале координат и перемещается по экрану с помощью мыши или кнопками ←, →.

Значения измеряемой функции и ее аргумента в месте установки визирной линии индицируется в окошках в правом нижнем углу.

Так, к частотным передаточным характеристикам четырехполюсника относят комплексную функцию частотного коэффициента передачи напряжения К(jω)= U 2 m /U 1 m . Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды выходного напряжения к комплексной амплитуде напряжения на входе. Отсюда следует, что АЧХ передаточной функции напряжений есть К(ω)=U 2 m /U 1 m , а ФЧХ передаточной функции напряжений есть φ к (ω)= φ 2 - φ 1 .

Следовательно, для измерения указанных характеристик клеммы ВХОД измерителя диаграмм Боде необходимо подсоединить ко входу исследуемого четырехполюсника, а клеммы ВЫХОД к выходу четырехполюсника.

Схема измерения частотных передаточных по напряжению характеристик цепи приведена на рис.1.2.

К входным частотным характеристикам четырехполюсника относят полное комплексное входное сопротивление Zвх(jω)=U 1 m /I 1 m . Оно представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде тока на входе. Отсюда следует, что АЧХ комплексной функции входного сопротивления есть Z(ω) =U 1 m /I 1 m , а ФЧХ передаточной функции напряжений есть φ к (ω) = φ u 1 - φ I 1 .

Схема измерения частотных характеристик входного сопротивления четырехполюсника приведена на рис.1.3.

Для измерения входных характеристик клеммы ВЫХОД измерителя диаграмм Боде необходимо подсоединить ко входу исследуемого четырехполюсника, а клеммы ВХОД к дополнительному резистору R доп, на котором создается напряжение, пропорциональное входному току.

Отсюда следует, что измеряемая характеристика представляет собой комплексную функцию входного сопротивления:

H(jω) = Ym/Xm= U 1m /I 1m =Zвх(jω)

Графики результатов измерения АЧХ и ФЧХ входного сопротивления, полученные в результате копирования в режиме Analysis Graphs, удобно использовать при оформлении отчета по курсовой работе. Чтобы скопировать изображение схемы или любого фрагмента, расположенного на рабочем столе программы EWB в отчет, подготавливаемый в текстовом редакторе Word, необходимо в меню Edit выделить команду Copy as Bitmap. После чего курсор мыши превращается в крестик, которым по правилу прямоугольника можно выделить нужную часть экрана. После отпускания левой кнопки мыши выделенная часть копируется в буфер обмена, содержимое которого может быть импортировано в любое приложение Windows.

Методика измерения импульсной и переходной характеристик следует из их определений. Схема измерения переходной характеристики приведена на рис.1.5.

Генератор необходимо поставить в режим формирования однополярных прямоугольных импульсов положительной полярности с амплитудой 1В (амплитуда –500мВ, смещение – 500мВ). Осциллограф – в режим синхронизации по каналу А. Затем получить на экране осциллографа устойчивое изображение выходного сигнала исследуемой цепи. Сигнал по каналу В и есть переходная характеристика цепи. Частоту генератора необходимо подобрать так, чтобы в пределах импульса выходной сигнал практически достигал своего стационарного значения.

Построение годографа

При графическом представлении комплексных частотных характеристик (КЧХ) Н(jω) цепи обычно отдельно строят графики АЧХ Н(ω) и ФЧХ φ н (ω). Однако комплексную частотную характеристику можно представить на одном графике. Такой график называется годограф КЧХ и строится он в комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место точек концов вектора комплексной функции Н(jω) на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до ∞ (рис.1.6). Годограф иногда называют амплитудно-фазовой характеристикой цепи. График годографа позволяет одновременно судить как об АЧХ, а также об ФЧХ комплексной частотной характеристики.

Для построения годографа строится декартовая система координат, при этом по оси X откладывают реальную составляющую Re[Н(jω)] КЧХ, а по оси Y откладывают мнимую составляющую Jm[Н(jω)] КЧХ. На годографе указывают точки, соответствующие некоторым значениям частоты ω, и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Н(jω) при увеличении частоты. График годографа можно строить двумя способами.

По первому способу для построения графика можно использовать результаты расчета АЧХ Н(ω) и ФЧХ φ н (ω), а точки графика годографа для заданного значения частоты ω i наносить на комплексную плоскость аналогично тому, как это делается при построении графика в полярной системе координат.

По второму способу необходимо комплексную частотную характеристику Н(jω) записать в алгебраической форме Н(jω) = Re[Н(jω)] + jJm[Н(jω)], затем для определенных частот ω i рассчитать значения Re[Н(jω)] = Н 1 (ω i) и Jm[Н(jω)] = Н 2 (ω i), и затем, как обычно, нанести эти точки на плоскость и соединив их, получить график.

ЗАДАНИЕ. Для предложенного варианта линейной цепи и заданных параметров:

1. Определить вид дифференциального уравнения, описывающего данную цепь, относительно именно тех входных и выходных параметров, которые указаны на схеме.

2. Найти частотный коэффициент передачи, его модуль и аргумент.

3. Построить графики АЧХ и ФЧХ данной системы.

4. Определить частотный коэффициент передачи мощности и передаточную функцию системы.

5. Найти комплексную функцию входного сопротивления Z ВХ (jw), его АЧХ - Z ВХ (w) и ФЧХ - j z (w); построить графики.

6. Найти импульсную и переходную характеристики; построить их графики.

7. Определить характерные (резонансные) частоты.

8. Найти отклик цепи на прямоугольный импульс с амплитудой Е и длительностью t и временным, классическим, спектральным и операторным методами; сравнить полученные разными методами результаты.

9. Составить схемы измерений частотных и переходных характеристик: Z ВХ (w) и j z (w); K U (ω) и φ k (ω); h(t); g(t) с использованием приборов электронной виртуальной лаборатории Electronics Workbench (EWB).

10. Построить графики характеристик, полученные в результате моделирования.

11. Провести анализ соответствия результатов аналитического расчета и эксперимента.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ

Варианты:

Таблица соответствий вариантов и параметров:

Вариант	Параметры
R, Ом	L, мГн	С, мкФ	Е, В	τ и, с
1.		0,5
2.
3.		0,4

Примечание:

1. Если в схеме два одинаковых элемента, то считать R 1 = 2R 2 ; L 1 = 2L 2 ;C 1 = 2C 2 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. При каких условиях реакцию линейной системы на короткий входной импульс можно считать импульсной характеристикой системы?

2. Как связаны между собой импульсная характеристика системы и ее частотный коэффициент передачи?

3. Какими способами можно определить частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы? Выберите из них оптимальный, на Ваш взгляд, способ.

4. В чем состоит отличие динамических систем от стационарных?

5. В каких случаях и почему для анализа системы удобнее использовать частотный коэффициент передачи мощности?

7. Исследуйте аналогичные условия (дифференцирования и интегрирования) для RL-цепи.

9. Как определяется функция комплексного входного сопротивления цепи и в чем ее физический смысл?

10. Как определяются АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления?

11. В каких логарифмических единицах выражается усиление сигнала в системе?

12. Поясните принципы построения годографа и его практическую значимость.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов В. П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 2000.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1999.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988.
2. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для ВУЗов/ В.П.Бакалов, А.Н.Игнатов, Б.И.Крук. – М: Радио и связь, 1989.
3. Каяцкас А. А. Основы радиоэлектроники. - М., Высшая школа, 1988.
4. Бирюков В. Н. Попов В. П. Семенцова В. И. Сборник задач по теории цепей. – М.: Высшая школа, 1998.
5. Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1990.
6. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях. Практикум на Electronics Workbench. В 2-х томах. Под ред. Д. И. Панфилова. - М.: Додэко, 2000.

Министерство образования Республики Беларусь

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.Я.КУПАЛЫ»

Физико-технический факультет

Кафедра промышленной электроники

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «Теория электрических цепей»

на тему: «АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ»

Вариант № ___

Выполнил:

студент 2 курса 4 группы _____(подпись)______ __(дата)__ И.О.Фамилия

Проверил:

доцент кафедры промышленной

электроники, к.т.н. ___________________________________ Т.А.Ситкевич

Гродно, 2012

Похожая информация.

Аббревиатура АЧХ расшифровывается как амплитудно-частотная характеристика. На английском этот термин звучит как «frequency response», что в дословном переводе означает «частотный отклик». Амплитудно-частотная характеристика цепи показывает зависимость уровня на выходе данного устройства от частоты передаваемого сигнала при постоянной амплитуде синусоидального сигнала на входе этого устройства. АЧХ может быть определена аналитически через формулы, либо экспериментально. Любое устройство предназначено для передачи (или усиления) электрических сигналов. АЧХ устройства определяется по зависимости коэффициента передачи (или коэффициента усиления) от частоты.

Коэффициент передачи

Что такое коэффициент передачи? Коэффициент передачи — это отношение на выходе цепи к напряжению на ее входе. Или формулой:

где

U вых — напряжение на выходе цепи

U вх — напряжение на входе цепи

В усилительных устройствах коэффициент передачи больше единицы. Если устройство вносит ослабление передаваемого сигнала, то коэффициент передачи меньше единицы.

Коэффициент передачи может быть выражен через :

Строим АЧХ RC-цепи в программе Proteus

Для того, чтобы досконально разобраться, что такое АЧХ, давайте рассмотрим рисунок ниже.

Итак, имеем «черный ящик», на вход которого мы будем подавать синусоидальный сигнал, а на выходе черного ящика мы будем снимать сигнал. Должно соблюдаться условие: нужно менять частоту входного синусоидального сигнала, но его амплитуда должна быть постоянной .

Что нам делать дальше? Надо измерить амплитуду сигнала на выходе после черного ящика при интересующих нас значениях частоты входного сигнала. То есть мы должны изменять частоту входного сигнала от 0 Герц (постоянный ток) и до какого-либо конечного значения, которое будет удовлетворять нашим целям, и смотреть, какая амплитуда сигнала будет на выходе при соответствующих значениях на входе.

Давайте разберем все это дело на примере. Пусть в черном ящике у нас будет самая простая с уже известными номиналами радиоэлементов.

Как я уже говорил, АЧХ может быть построено экспериментально, а также с помощью программ-симуляторов. На мой взгляд, самый простой и мощный симулятор для новичков — это Proteus. С него и начнем.

Собираем данную схему в рабочем поле программы Proteus

Для того, чтобы подать на вход схемы синусоидальный сигнал, мы кликаем на кнопочку «Генераторы», выбираем SINE, а потом соединяем его со входом нашей схемы.

Для измерения выходного сигнала достаточно кликнуть на значок с буквой «V» и соединить выплывающий значок с выходом нашей схемы:

Для эстетики, я уже поменял название входа и выхода на sin и out. Должно получиться как-то вот так:

Ну вот, пол дела уже сделано.

Теперь осталось добавить важный инструмент. Он называется «frequency response», как я уже говорил, в дословном переводе с английского — «частотный отклик». Для этого нажимаем кнопочку «Диаграмма» и в списке выбираем «frequency»

На экране появится что-то типа этого:

Кликаем ЛКМ два раза и открывается вот такое окошко, где в качестве входного сигнала мы выбираем наш генератор синуса (sin), который у нас сейчас задает частоту на входе.

Здесь же выбираем диапазон частоты, который будем «загонять» на вход нашей цепи. В данном случае это диапазон от 1 Гц и до 1 МГц. При установке начальной частоты в 0 Герц Proteus выдает ошибку. Поэтому, ставьте начальную частоту близкую к нулю.

и в результате должно появится окошко с нашим выходом

Нажимаем пробел и радуемся результату

Итак, что интересного можно обнаружить, если взглянуть на нашу АЧХ? Как вы могли заметить, амплитуда на выходе цепи падает с увеличением частоты. Это означает, что наша RC-цепь является своеобразным частотным фильтром. Такой фильтр пропускает низкие частоты, в нашем случае до 100 Герц, а потом с ростом частоты начинает их «давить». И чем больше частота, тем больше он ослабляет амплитуду выходного сигнала. Поэтому, в данном случае, наша RC-цепь является самым простейшим ф ильтром н изкой ч астоты (ФНЧ).

Полоса пропускания

В среде радиолюбителей и не только встречается также такой термин, как . Полоса пропускания — это диапазон частот, в пределах которого АЧХ радиотехнической цепи или устройства достаточно равномерна, чтобы обеспечить передачу сигнала без существенного искажения его формы.

Как же определить полосу пропускания? Это сделать довольно легко. Достаточно на графике АЧХ найти уровень в -3 дБ от максимального значения АЧХ и найти точку пересечения прямой с графиком. В нашем случае это можно сделать легче пареной репы. Достаточно развернуть нашу диаграмму на весь экран и с помощью встроенного маркера посмотреть частоту на уровне в -3 дБ в точке пересечения с нашим графиком АЧХ. Как мы видим, она равняется 159 Герц.

Частота, которая получается на уровне в -3 дБ, называется частотой среза . Для RC-цепи ее можно найти по формуле:

Для нашего случая расчетная частота получилась 159,2 Гц, что подтверждает и Proteus.

Кто не желает связываться с децибелами, то можно провести линию на уровне 0,707 от максимальной амплитуды выходного сигнала и смотреть пересечение с графиком. В данном примере, для наглядности, я взял максимальную амплитуду за уровень в 100%.

Как построить АЧХ на практике?

Как построить АЧХ на практике, имея в своем арсенале и ?

Итак, поехали. Собираем нашу цепь в реале:

Ну а теперь цепляем ко входу схемы генератор частоты, а с помощью осциллографа следим за амплитудой выходного сигнала, а также будем следить за амплитудой входного сигнала, чтобы мы были точно уверены, что на вход RC-цепи подается синус с постоянной амплитудой.

Для экспериментального изучения АЧХ нам потребуется собрать простенькую схемку:

Наша задача состоит в том, чтобы менять частоту генератора и уже наблюдать, что покажет осциллограф на выходе цепи. Мы будем прогонять нашу цепь по частотам, начиная от самой малой. Как я уже сказал, желтый канал предназначен для визуального контроля, что мы честно проводим опыт.

Постоянный ток, проходящий через эту цепь, на выходе будет давать амплитудное значение входного сигнала, поэтому первая точка будет иметь координаты (0;4), так как амплитуда нашего входного сигнала 4 Вольта.

Следующее значение смотрим на осциллограмме:

Частота 15 Герц, амплитуда на выходе 4 Вольта. Итак, вторая точка (15;4)

Третья точка (72;3.6). Обратите внимание на амплитуду выходного красного сигнала. Она начинает проседать.

Четвертая точка (109;3.2)

Пятая точка (159;2.8)

Шестая точка (201;2.4)

Седьмая точка (273;2)

Восьмая точка (361;1.6)

Девятая точка (542;1.2)

Десятая точка (900;0.8)

Ну и последняя одиннадцатая точка (1907;0.4)

В результате измерений у нас получилась табличка:

Строим график по полученным значениям и получаем нашу экспериментальную АЧХ;-)

Получилось не так, как в технической литературе. Оно и понятно, так как по Х берут логарифмический масштаб, а не линейный, как у меня на графике. Как вы видите, амплитуда выходного сигнала будет и дальше понижаться с увеличением частоты. Для того, чтобы еще более точно построить нашу АЧХ, требуется взять как можно больше точек.

Давайте вернемся к этой осциллограмме:

Здесь на частоте среза амплитуда выходного сигнала получилась ровно 2,8 Вольт, которые как раз и находятся на уровне в 0,707. В нашем случае 100% это 4 Вольта. 4х0,707=2,82 Вольта.

АЧХ полосового фильтра

Существуют также схемы, АЧХ которых имеет вид холма или ямы. Давайте рассмотрим один из примеров. Мы будем рассматривать так называемый полосовой фильтр, АЧХ которого имеет вид холма.

Собственно сама схема:

А вот ее АЧХ:

Особенность таких фильтров, что они имеют две частоты среза. Определяются они также на уровне в -3дБ или на уровне в 0,707 от максимального значения коэффициента передачи, а еще точнее K u max /√2.

Так как в дБ смотреть график неудобно, поэтому я переведу его в линейный режим по оси Y, убирая маркер

В результате перестроения получилась такая АЧХ:

Максимальное значение на выходе составило 498 мВ при амплитуде входного сигнала в 10 Вольт. Мдя, неплохой «усилитель») Итак, находим значение частот на уровне в 0,707х498=352мВ. В результате получились две частоты среза — это частота в 786 Гц и в 320 КГц. Следовательно, полоса пропускания данного фильтра от 786Гц и до 320 КГц.

На практике для получения АЧХ используются приборы, называемые характериографами для исследования АЧХ. Вот так выглядит один из образцов Советского Союза

ФЧХ расшифровывается как фазо-частотная характеристика, phase response — фазовый отклик. Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига по фазе между синусоидальными сигналами на входе и выходе устройства от частоты входного колебания.

Разность фаз

Думаю, вы не раз слышали такое выражение, как » у него произошел сдвиг по фазе». Это выражение не так давно пришло в наш лексикон и обозначает оно то, что человек слегка двинулся умом. То есть было все нормально, а потом раз! И все:-). И в электронике такое тоже часто бывает) Разницу между фазами сигналов в электронике называют разностью фаз . Вроде бы «загоняем» на вход какой-либо сигнал, а выходной сигнал ни с того ни с сего взял и сдвинулся по времени, относительно входного сигнала.

Для того, чтобы определить разность фаз, должно выполняться условие: частоты сигналов должны быть равны . Пусть даже один сигнал будет с амплитудой в Киловольт, а другой в милливольт. Неважно! Лишь бы соблюдалось равенство частот. Если бы условие равенства не соблюдалось, то сдвиг фаз между сигналами все время бы изменялся.

Для определения сдвига фаз используют двухканальный осциллограф. Разность фаз чаще всего обозначается буквой φ и на осциллограмме это выглядит примерно так:

Строим ФЧХ RC-цепи в Proteus

Для нашей исследуемой цепи

Для того, чтобы отобразить ее в Proteus мы снова открываем функцию «frequency response»

Все также выбираем наш генератор

Не забываем проставлять испытуемый диапазон частот:

Долго не думая, выбираем в первом же окошке наш выход out

И теперь главное отличие: в колонке «Ось» ставим маркер на «Справа»

Нажимаем пробел и вуаля!

Можно его развернуть на весь экран

При большом желании эти две характеристики можно объединить на одном графике

Обратите внимание, что на частоте среза сдвиг фаз между входным и выходным сигналом составляет 45 градусов или в радианах п/4 (кликните для увеличения)

В данном опыте при частоте более 100 КГц разность фаз достигает значения в 90 градусов (в радианах π/2) и уже не меняется.

Строим ФЧХ на практике

ФЧХ на практике можно измерить также, как и АЧХ, просто наблюдая разность фаз и записывая показания в табличку. В этом опыте мы просто убедимся, что на частоте среза у нас действительно разность фаз между входным и выходным сигналом будет 45 градусов или π/4 в радианах.

Итак, у меня получилась вот такая осциллограмма на частоте среза в 159,2 Гц

Нам надо узнать разность фаз между этими двумя сигналами

Весь период — это 2п, значит половина периода — это π. На полупериод у нас приходится где-то 15,5 делений. Между двумя сигналами разность в 4 деления. Составляем пропорцию:

Отсюда х=0,258п или можно сказать почти что 1/4п. Следовательно, разница фаз между двумя этими сигналами равняется п/4, что почти в точности совпало с расчетными значениями в Proteus.

Резюме

Амплитудно-частотная характеристика цепи показывает зависимость уровня на выходе данного устройства от частоты передаваемого сигнала при постоянной амплитуде синусоидального сигнала на входе этого устройства.

Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига по фазе между синусоидальными сигналами на входе и выходе устройства от частоты входного колебания.

Коэффициент передачи — это отношение на выходе цепи к напряжению на ее входе. Если коэффициент передачи больше единицы, то электрическая цепь усиливает входной ссигнал, если же меньше единицы, то ослабляет.

Полоса пропускания — это диапазон частот, в пределах которого АЧХ радиотехнической цепи или устройства достаточно равномерна, чтобы обеспечить передачу сигнала без существенного искажения его формы. Определяется по уровню 0,707 от максимального значения АЧХ.