В данном разделе мы будем рассматривать источники непрерывных сообщений, которые в каждый момент времени могут случайным образом принять одно из бесконечного множества возможных состояний. Под непрерывным сообщением будем понимать некоторую непрерывную случайную величину, однозначно соответствующую состоянию источника. Возможны два подхода к организации передачи непрерывных сообщений по каналам связи:

1) преобразование непрерывных сообщений в дискретные и передача их по дискретным каналам;

2) передача по непрерывным каналам.

В данном разделе будут рассмотрены проблемы, возникающие при реализации каждого из них. Очевидно, что в первом случае неизученными остаются лишь вопросы, связанные с преобразованием непрерывных сообщений в дискретные. Остановимся на них более подробно.

Рассмотрим вначале непрерывное сообщение, представляющее собой процесс с дискретным временем, т.е. совокупность отсчетов непрерывной случайной величины Х. Одна из возможных реализаций такого процесса представлена на рисунке 3.1. Истинные значения сигнала в каждый момент времени показаны точками. Предположим, что все возможные (или по крайней мере наиболее вероятные) значения отсчетов процесса сосредоточены в диапазоне от x min до x max . Разобьем весь этот диапазон на конечное число (3.1.а) интервалови границы этих интервалов х к-1 , х к, х к+1 и т.д. будем считать разрешенными значениями уровней отсчетов процесса. При этом число разрешенных уровней N y =N-1. (3.1.б) Процедура округления истинного значения отсчета до значения ближайшего разрешенного уровня называется квантованием или дискретизацией по значению (уровню) (округленные значения сигнала на рисунке показаны кружочками). Очевидно, что после осуществления операции квантования непрерывная случайная величина Х превращается в дискретную, т.е. имеющую конечное число возможных значений, а непрерывное сообщение - в последовательность элементарных дискретных сообщений источника с объемом алфавита N у. Из определения операции квантования следует, что ей присуща неизбежная потеря информации, обусловленная наличием погрешности квантования . Анализ этой погрешности проведем далее, здесь же отметим, что ее значение (а, следовательно, и количество теряемой из-за нее информации) является контролируемым и может быть сделано необходимо малым путем выбора достаточного количества N у разрешенных уровней шкалы квантования (вследствие соответствующего уменьшения шага квантования ).

Таким образом, непрерывные сообщения, описываемые процессом с дискретным временем, с помощью квантования отсчетов процесса с контролируемой точностью могут быть преобразованы в дискретные. Рассмотрим теперь другой тип непрерывных сообщений, описываемый процессами с непрерывным временем. Реализация такого процесса x(t) показана на рисунке 3.2. Очевидно, что если осуществить его дискретизацию , т.е. замену всей совокупности значений процесса отдельными его мгновенными значениями, выбранными в определенные "разрешенные" моменты времени , то он превращается в уже рассмотренный процесс с дискретным временем X  (t). На первый взгляд дискретизация приводит к необратимым существенным потерям информации, обусловленным <отбрасыванием> большей части мгновенных значений процесса. Однако, как будет видно из дальнейших рассуждений, дело обстоит не совсем так (почти совсем ни так). Ввиду особой важности процедуры дискретизации для процессов передачи и преобразования непрерывных сообщений рассмотрим ее более подробно.

1. дискретизация по времени Т=fкв=1/T

   квантование по уровням. количество уровней 2 N -1

Вопрос выбора частоты квантования связан с процессом представления сигнала. Выбор fкв осуществляется по теореме Котельникова.

Теорема Котельникова: Непрерывная функция f(t) спектр которой отличен от нуля H(-F,F) полностью определяется своими значениями, отсчитанными в дискретных точках через интервал Т равный 1/2F(Т=1/2F) fкв=2F

f(t)=(f(KТ))*(sin2ПF(t-KТ))/2ПF(t-KТ)

где 2ПF(t-KТ)- функция отсчетов

Решение реальных задач связано с сигналами одновременно ограниченными и по частоте и по времени. Теоретически эти условия являются несовместимыми. Практически эти определения определяют таким образом, чтобы основная часть энергии сигнала была заключена в пределах длительности этого сигнала и выбранной ширины его спектра.

При таком подходе для сигнала длительности Т и сигналов fсреза число независимых отсчетов необходимых для полного задания сигнала равно N=2fc*T. В этом случае сигнал представляется следующим образом

f(t)=(f(KТ))*(sin2Пfc (t-KТ))/2Пfc (t-KТ)

Шаг квантования по уровню N=E{log 2 100/ k }

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХПІ»

Кафедра «Обчислювальна техніка та програмування»

з курсу «Теорія інформації та кодування»

«Квантование сигналов»

Введение

Передача дискретных сигналов по каналам связи удобней и надежней, чем передача непрерывных сигналов, т. к. дискретные сигналы обладают лучшей помехозащищенностью, позволяют проще организовать многоканальную связь, кроме того, дискретные сигналы можно непосредственно обрабатывать с помощью ЭВМ.

Квантование (дискретизация) - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. При этом используются следующие виды квантования: по времени; по амплитуде (уровню); комбинированное; специальные виды квантования.

1. Квантование по времени

При квантовании по времени функция x(t) непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента - решетчатую функцию, представляющую совокупность значений непрерывной функции в дискретные моменты времени.

Рис. 1. Квантование по времени

Шаг квантования -временной интервал между двумя фиксированными моментами времени

Частота квантования f k = 1/t должна быть такой, чтобы по значениям решетчатой функции- x(t i ) можно было восстановить исходную непрерывную функцию с заданной точностью. Восстановленную функцию x(t) называют воспроизводящей. При временном квантовании возникает задача выбора частоты квантования, при этом, могут быть использованы различные критерии. Чаще всего, дискретизацию осуществляют на основании теоремы Котельникова.

Формулировка теоремы Котельникова: Функцию x(t) удовлетворяющую условиям Дирихле (ограниченную, кусочно-непрерывную и имеющую конечное число экстремумов), можно достаточно точно восстановить по ее отсчетам взятым через интервал времени t = 1/2f c =/ c , где - верхняя частота спектра функции а- круговая частота.

Значения функции x(t) в любой момент времени t определяется рядом Котельникова:

где - отсчеты (значения) функцииx(t) в дискретные моменты времени t = nt ; - функция отсчетов, которая представляет собой СБФ.

Для доказательства теоремы рассмотрим формулы Фурье

, , (2)

где- комплексный частотный спектр функцииx(t) .

В пределах диапазона [- c , ; + c ], сигнал x(t) можно представить интегралом Фурье через его частотный спектр

. (3)

Комплексный спектр можно отобразить рядом Фурье

. (4)

Где коэффициенты разложения равны

. (5)

Подставляя (5) в (4), а затем полученное выражение в (3) получим

Ряд Котельникова для x(t) с ограниченным спектром на конечном интервале T может быть представлен:

, (6)

где B = T/t = 2fT - база сигнала.

Рассмотрим функцию отсчетов сигналов

. (7)

Эта функция равна 1 при Z = 0, т. е. , и 0 при, где

Функция отсчета sinz/z представляет собой реакцию идеального фильтра НЧ на единичный импульс.

Если на приемной стороне поместить фильтр и пропустить через него квантованный сигнал, представляющий последовательность импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам непрерывной функции с частотой .

Если эти сигналы выхода фильтра просуммировать, то получим воспроизводящую функцию.

Рис. 2. Функция отсчетов

Недостатки квантования с использованием метода Котельникова:

1. Теорема сформулирована для сигналов с ограниченным спектром и неограниченным временем - на практике наоборот спектр неограничен, а время ограничено. Спектр можно ограничить, пропустив сигнал через фильтр НЧ или полосовой фильтр.

2. При передаче импульсных сигналов шаг квантования выбирается для самых крутых участков, т. к. квантование равномерное, то канал будет перегружен, и обладать большой избыточностью. Трудно реализовать схему восстановления сигнала, т. к. необходимо много сумматоров.

Существуют другие принципы дискретизации: критерий Железнова, который использует неравномерное квантование, при этом шаг квантования выбирается, в зависимости от корреляция между значениями сигнала; критерий Темникова, который также использует неравномерное квантование, при этом, пока производная постоянна сигнал не квантуется.

2. Квантование по уровню

При квантовании по уровню (амплитуде) бесконечное множество возможных значений непрерывного сигнала x(t) заменяется конечным множеством дискретных значений x*(t) .

В результате квантования образуется ступенчатая функция (рис. 3).

Может быть использовано два способа квантования, при этом, мгновенное значение непрерывной функции заменятся меньшим дискретным значением или ближайшим.

x(t), x*(t) x(t), x*(t)

Рис.6.3. Квантование по уровню

Различают равномерное квантование, при котором диапазон изменения x(t) от x min до x max разбивается на N уровней с шагом ,называемых шагом квантования

При неравномерном квантовании шаг не постоянный. При замене действительных мгновенных значений функции на дискретные появляются методические погрешности, называемые шумом квантования (погрешность квантования по уровню). Эта погрешность носит случайный характер и для ее оценки необходимо использовать статические характеристики

При этом точку переключения необходимо выбирать так, чтобы эти характеристики были минимальными.

Рис. 4. Погрешности квантования

Плотность распределений, при большом числе уровней квантования, подчинятся закону равной плотности вероятности имеют вид, приведенный на рис. 4, и определяется соотношением:

В зависимости от используемого способа квантования, плотность вероятности и статистические характеристики погрешностей имеют вид:

Математическое ожидание погрешностей

(11)

Дисперсия погрешности

Среднеквадратическая ошибка

.

Если в результате квантования по уровню, значение сигнала выдается в двоичном коде с ценой младшего разряда, равного шагу квантования, то число двоичных разрядов и уровней квантования будет равно:

; ,

где добавление 1 соответствует учету первого уровня.

3. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по времени и кроме того, в тактовых точках квантуется по уровню.

Рис. 5. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании амплитуда импульса равна ближайшему значению уровня, при этом величина ошибки квантования равна

то математическое ожидание ошибки равно

а среднеквадратичная ошибка за счет квантования по уровню уменьшается с увеличением частоты квантования

.

Недостаток комбинированного квантования заключается в сложности реализации дешифрующих устройств. При этом вместо комбинированного квантования чаще всего используют кодоимпульсную модуляцию.

Пример 1. В измерительном приборе расстояние между метками шкалы постоянно и равно x = a . При округлении отсчета до ближайшего целого деления погрешность по абсолютной величине не превышает половины расстояния между делением шкалы.

Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию округления.

Решение: Погрешность округления можно рассматривать как случайную величину x , принимающую с равной вероятностью любые значения в пределах от -x/2 до x/2 . Следовательно, плотность вероятности на этом интервале постоянна и равна нулю за этими пределами (10).

Математическое ожидание равно:

Дисперсия ошибки округления равна:

.

Среднеквадратическая ошибка равна:

Список литературы

А.В. Власенко, В.И. Ключко - Теория информации и сигналов. Учебное пособие / Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2003.- 97 с.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский

Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 2000.

Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1980.

Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.: ил.

г) Фазовый признак. Отличит. признаком является фаза импульса, q Ф £ ¥ (q Ф реал. » 2¸3)

д) Частотный признак. q Ч ³ 2 (q Ч реал. » 2¸3)

9. Сообщение и их виды

Величины, характеризующие тот или иной контролируемый процесс как правило имеют случайный характер, т.е. не м.б. известными. Если случайная величина может принимать конечное число значений, то ее наз. дискретной по множеству. Если же случайная величина может принимать бесконечное число своих значений, то ее называют непрерывной по множеству. В общем случае получаемое сообщение представляет собой функцию времени. По виду получающейся функции все сообщения можно классифицировать следующим образом:

1. Непр. по множеству и времени (просто непрерывные). В этом случае ф-я х(t), характеризующая передаваемые сообщения, имеет непрерывное множество значений и изменияется непрерывно во времени. Такого рода сообщения характерны для телеизмерений.

2. Непр. по времени и дискретные по множеству. В этом случае ф-я x(t) может принимать только вполне определенные заранее заданные значения и может изменять их в произвольный мом. вр.

3. Непр. по мн-ву и дискретные по времени. В этом случае ф-я x(t) может приниметь любые зн-я из области сущ-я, но только в фиксир. мом. вр.

4. Дискретный по мн-ву и времени. Ф-я может принимать только фиксир. зн-я в фиксир. мом. вр.

10. Квантование сигналов, назначение и виды

Передача информации в информационных управляющих системах может осуществляться, как с помощью непрерывных, так и дискретных сигналов.

Использование дискретных сигналов в некоторых случаях оказывается более предпочтительным, так как дискретные сигналы меньше подвержены искажениям при передаче, эти искажения легче обнаруживаются. А самое главное дискретные сигналы более удобны для использования и обработки цифровыми устройствами информационных систем.

С другой стороны большинство первичных сигналов, снимаемых с датчиков, являются непрерывными, в связи с этим возникает проблема эффективного преобразования непрерывных сигналов в дискретных и наоборот.

Процесс процедуры преобразования непрерывной физической величины в дискретную, называется квантованием.

виды квантования :

1) Квантование по уровню , при этом непрерывная функция, описывающая первичный сигнал заменяется ее отдельными значениями, отстоящим друг от друга на некоторый конечный интервал (уровень). Соответственно, мгновенные значения функции заменяются ее ближайшими дискретными значениями, называемыми уровнями квантования, интервал между двумя соседними значениями уровнями, называется шагом квантования. Шаг квантования может быть как постоянным (равномерное квантование), либо переменным (неравномерным квантованием). Точность преобразования непрерывного дискретного сигнала зависит от величины шага квантования. Эта точность оценивается расхождением между истинным значением функции и квантованным. Величина этого расхождения называется ошибкой (шум квантования).

При передаче сигнала по каналу связи на этот сигнал могут воздействовать те или иные помехи, искажающие этот первичный сигнал. Если при этом известно максимальное значение этой помехи , то можно выбрать шаг квантования и вторично проквантовать сигнал на приемной стороне, то можно очистить принятый сигнал от влияния помех, поскольку .

Таким образом, повторное квантование позволяет восстановить искаженный помехой сигнал. Однако надо иметь в виду, что при этом ошибка квантования сохраняется. Положительным моментом при этом является то, что ошибка квантования заранее известна. Таким образом, удается избежать накопления помех и качество передачи сигналов возрастает.

2) Квантование по времени (дискретизация). В этом случае непрерывная функция заменяется ее отдельными значениями времени в фиксированные моменты времени. Отчеты значений первичного сигнала производятся через некоторый промежуток , этот интервал называется шагом квантования. Чем меньше выбран интервал , тем больше точка на приемной стороне сможет быть восстановлена передаваемая функция. С другой стороны, при смешанном мелком шаге дискретизация снижается скорость передачи данных, также повышается требования к полосе пропускания канала связи.

, , , .

При смешанном крупном шаге квантования существенно уменьшается точность воспроизведения функции на приеме.

3) Квантование по уровню и времени . В ряде случаев, оказывается, целесообразно использовать смешанный вид квантования по уровню. В этом случае сигнал предварительно квантуется по уровню, а отчеты получившегося квантования сообщения производят через заданный промежуток времени. При этом:

11. Дискретизация сигналов и требования к ним.

Теорема Котельникова м ее практическое значение

Для использования преимуществ цифровых устройств в системах передачи и обработки информации возникает необходимость в преобразовании непрерывных сигналов в дискретные. С этой целью наиболее часто используется методы дискретизации, т.е. квантование по времени, при постоянном шаге дискретизации. Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение, поскольку неравномерная дискретизация является крайне неудобной и мало пригодной для технических целей. Поскольку не позволяет осуществлять синхронизацию отдельных устройств СПД и затрудняет процесс восстановления сигнала по приемной стороне.

В случае использования равномерной дискретизации возникает вопрос о выборе оптимального (предельного) шага дискретизации.

В 1933 г. академиком Котельниковом была доказана теорема, играющая важную роль в теории информации.

Теоремы: любая непрерывная функция , частный спектр, который ограничивается сверху некоторым значением частоты , может быть полностью и без ошибочно восстановлена по ее дискретным значениям (отчеты), взятым через интервал времени.

(*)

Квантование

1.4. Дискретизация и квантование

Как уже отмечалось ранее, для описания различных информационных объектов используются различные функции времени. К ним относятся:

1. Непрерывная функция непрерывного аргумента t (рис. 1.7).

Функция может принимать любые значения из бесконечного множества значений, расположенных в конечном интервале (x min , x max) , но только в фиксированные, наперед заданные моменты времени t k , k=0,1,2,...,n .

3. Дискретная функция непрерывного аргумента t (рис. 1.9).

Значения, которые могут принимать аргумент t и функция x(t) , образуют конечные дискретные ряды, заполняющие соответствующие интервалы (t 0 ,t n) и (x min , x max) .

Во многих случаях переход от непрерывного сообщения (сигнала) к дискретному осуществляется специально, поскольку это обеспечивает значительные преимущества при передаче, обработке и хранении информации. В связи с тем, что каждому из дискретных значений конечного множества можно сопоставить число, возникает возможность перейти к цифровому представлению информации, что позволит использовать ЭВМ при ее обработке.

Для выполнения этого перехода над непрерывной функцией непрерывного аргумента осуществляются преобразования, называемые квантованием по времени или дискретизацией и квантованием по уровню. В дальнейшем во избежание путаницы под дискретизацией будем понимать квантование по времени, а квантование по уровню будем называть просто квантованием .

1.4.1. Дискретизация

Дискретизация сводится к замене непрерывной по аргументу функции, функцией дискретного аргумента. В результате непрерывная функция отображается конечным числом ее мгновенных значений, взятых через определенные (равные или неравные) промежутки времени Dt .

Таким образом, дискретизация представляет собой по сути разложение непрерывной функции на совокупность составляющих ее элементарных функций. Для решения этой задачи используется упомянутое ранее обобщенное преобразование Фурье .

Примером ортогонального базиса, кроме рассмотренных ранее гармонических функций, являются функции отсчета Котельникова. Наличие разнообразных базисов в различных областях (частотной и временной) говорит о возможности различных спектральных представлений процессов.

Однако при любом из них возникает вопрос о возможности сколь угодно точного восстановления мгновенных значений процесса, исходя из отсчетных или выборочных значений, взятых через определенные интервалы. Дискретизация должна производиться так, чтобы по отсчетным значениям или коэффициентам разложения можно было получить воспроизводящую функцию, которая с заданной точностью отображает исходную функцию.

Восстановление непрерывной функции по конечному числу ее значений на конечном интервале времени T=(t 0 ,t n) приводит к погрешности, зависящей от числа взятых значений этой функции на этом интервале, т.е. от частоты дискретизации и от выбранного способа восстановления (интерполяции).

Таким образом, при дискретизации приходится решать вопрос о том, как часто следует производить отсчеты функции, т.е. каков должен быть шаг дискретизации Dt или частота дискретизации f=1/Dt .

При малом Dt количество отсчетов на интервале Т будет больше, точность воспроизведения - выше, но увеличится и количество информации, которое нужно хранить, передавать, обрабатывать. При большом Dt соответственно наоборот.

Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает восстановление исходной функции с заданной точностью при минимальном количестве отсчетов. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходной функции. В случае неоптимальной дискретизации, кроме существенных, производятся и избыточные отсчеты. Эти отсчеты не нужны для восстановления исходной функции с заданной точностью. Наличие избыточной информации нежелательно при ее передаче, обработке и хранении, так как требует больших ресурсов. Устранение этой избыточности может производиться в процессе дискретизации, в связи с чем дискретизацию можно рассматривать не только как операцию по преобразованию непрерывного сообщения в дискретное, но и как один из методов устранения избыточности.

Методы дискретизации и восстановления непрерывных функций классифицируются по следующим основным признакам:

а) регулярность отсчетов,

б) критерии оценки точности дискретизации и восстановления,

в) вида базисной функции.

Регулярность отсчетов в многом предопределяет степень устранения избыточности и сложность устройств дискретизации и восстановления. В соответствии с этим признаком можно выделить равномерную и неравномерную дискретизации. Дискретизация называется равномерной, если Dt =const на всем интервале Т . Величина Dt выбирается на основе априорных сведений о характере дискретизируемой функции. Равномерная дискретизация применяется достаточно широко из-за простоты алгоритмов и аппаратуры для ее реализации. Однако при ее использовании возможна значительная избыточность отсчетов.

Дискретизация называется неравномерной, если Dt =var . Выделяются два вида неравномерной дискретизации: адаптивная и программная.

При адаптивных методах дискретизации Dt изменяется в зависимости от текущего изменения значений дискретизируемой функции. При программной дискретизации Dt изменяется в соответствии с заранее составленной на основе априорных сведений о поведении дискретизируемой функции программой.

В качестве критериев оценки точности дискретизации и восстановления чаще других используются следующие критерии:

а) наибольшего отклонения,

б) среднеквадратический,

в) вероятностный,

г) интегральный.

Все эти критерии предлагают метод оценки отклонения воспроизводимой функции от исходной (т.е. ошибки дискретизации) на каждом из интервалов дискретизации. Если максимальная величина ошибки дискретизации задана, то эти критерии позволяют выбрать величину интервала дискретизации Dt , который обеспечить требуемую точность воспроизведения.

Существуют два способа воспроизведения исходного сигнала: воспроизведение с экстраполяцией и воспроизведение с интерполяцией. Методы дискретизации с экстраполяцией воспроизводящей функции не требуют задержки сигнала в пределах интервала дискретизации, т.е. могут использоваться в системах, работающих в реальном масштабе времени. Дискретизация с интерполяцией требует задержки сигнала на интервал интерполяции.

Выбор системы базисных функций определяется, с одной стороны, требуемой точностью восстановления, с другой - требованиями ограничения сложности устройств и программ дискретизации и восстановления. Требованию простоты нахождения коэффициентов разложения прежде всего отвечают степенные алгебраические полиномы. Использование в качестве базисных ортогональных систем функций в ряде случаев оказывается целесообразным, так как для такой системы относительно просто вычисляются коэффициенты разложения, и вычисление их включает операцию интегрирования сигнала, что положительно сказывается на помехоустойчивости алгоритма дискретизации. Задача оптимального выбора конкретного узкого класса базисных функций может решаться лишь при наличии значительной априорной информации о характере дискретизируемой функции. Так, например, если известно, что сигналы являются периодическими, то поиск базисных функций следует направит в класс гармонических функций.

Тот факт, что функция времени, отображающая непрерывной сообщение или сигнал, является произвольной и случайной, означает, что она может иметь временные изменения любой скорости - от самых медленных до бесконечно быстрых скачкообразных изменений. Это, в свою очередь, означает, что такая функция имеет бесконечный спектр . Реальные сообщения обладают спектром, основная часть энергии которых сосредоточена в ограниченной полосе частот. Это обусловлено тем, что устройства, формирующие и преобразующие сообщения и сигналы, обладают конечной ограниченной полосой пропускания. Функции, описывающие такие реальные процессы, называют функциями с ограниченным или финитным спектром .

Для таких функций сформулирована и доказана теорема Котельникова , суть которой состоит в том, что функцию s(t) с финитным спектром можно точно восстановить по ее отсчетам s(kDt) , взятым через интервалы времени Dt=1/2f в , где f в - верхняя частота спектра функции. Это осуществляется с помощью разложения функции в ряд Котельникова .

Функции , образующие базис Котельникова, называют функциями отсчета. Они отличаются друг от друга только сдвигом по оси времени (рис. 1.11) на интервалы, кратные Dt .

Свойства функции отсчетов:

1) в моменты времени t=kDt , где k - любое целое число, j k достигает своего максимального значения равного единице;

2) в моменты времени t=nDt , где n - любое целое число, причем n¹k , j k =0;

3) функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени.

Теорема Котельникова обобщается и на случайные процессы. В этом случае она формулируется следующим образом: «Для случайного процесса X(t) с финитным спектром ряд Котельникова , где X(kDt) - сечения процесса X(t) , взятые через интервалы Dt , сходится в среднеквадратическом смысле к процессу X(t) ».

Фундаментальное значение теоремы Котельникова состоит в том, что она, во-первых, позволяет заменить исследование непрерывных процессов более простой задачей исследования дискретных процессов. Во-вторых, она позволяет наряду с частотным представлением процессов (разложение в гармонический ряд Фурье, спектральные функции) применять и временное представление - разложение во временной ряд.

Полезно сопоставить вид функции отсчетов и получаемое по теореме Котельникова значение Dt с результатами рассмотрения параметров квазибелого шума. Из этого сопоставления можно сделать вывод о том, что шаг дискретизации Dt не должен быть больше интервала корреляции t к дискретизируемого процесса.

Однако применение этой теоремы встречает некоторые трудности. Строго говоря, функция с ограниченным спектром не ограничена (не финитна) во времени и, наоборот, финитная функция времени имеет неограниченный спектр.

На практике часто приходится иметь дело с сообщениями и сигналами конечной длительности, энергия или мощность которых почти полностью сосредоточена в интервале времени от Т 1 до Т 2 и в полосе частот DF = f в - f н . Слово «почти» оправдывает применение к этим объектам теоремы Котельникова и позволяет представлять их не бесконечным рядом, а конечной суммой. Естественно, такое представление уже не является точным и выполняется с некоторой погрешностью.

Будем полагать, что вся энергия сигнала содержится в полосе частот до f в , а все отсчеты за пределами интервала (Т 1 , Т 2 ) равны нулю. Тогда .

Ограничение членов ряда конечным числом приводит к появлению ошибки, абсолютное значение которой равно , а относительное , где знаменатель представляет собой полную мощность сигнала x(t) , а числитель - часть его мощности, отброшенную при введении ограничения по времени и ограничения по спектру.

Очень полезной и более простой формулой для определения допустимой величины шага дискретизации Dt при заданной погрешности Dt для стационарного случайного процесса X(t) является формула , где - значение коэффициента корреляции процесса X(t) при аргументе Dt . Из этой формулы при заданной погрешности d д можно получить выражение для допустимой величины шага дискретизации , где - функция, обратная коэффициенту корреляции процесса X(t).

Не смотря на наличие указанной погрешности, достоинство такого преобразования состоит в переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному пространству сигналов, т.е. сигналов, финитных и по спектру и по времени. Размерность этого пространства определяется числом элементов суммы членов ряда, которое равно или .

Эту величину B=2DFT называют базой сигнала . Физически она указывает на количество отсчетов, необходимых для описания сигнала

Обобщая сказанное о дискретизации можно заключить:

1. Представление процесса в виде разложения по ортонормированному базису называется обобщенным преобразованием Фурье. Энергия сигнала равна сумме энергий всех элементов обобщенного ряда Фурье. Разложение сигнала по ортонормированному базису обеспечивает минимум ошибки аппроксимации.

2. Ряд Котельникова представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье. Базисными функциями в этом случае являются функции отсчета, сдвинутые во времени относительно друг друга на интервалы, кратные 1/2f в . Коэффициентами ряда Котельникова служат отсчеты разлагаемого процесса, взятые через равные промежутки времени Dt=1/2f в . Если в спектре процесса отсутствуют составляющие с частотами выше f в , то ряд Котельникова дает точное в среднеквадратическом смысле представление процесса.

1.4.2. Квантование

После дискретизации реализации непрерывного процесса (сообщения) он может быть представлен совокупностью отсчетов, каждый из которых, вообще говоря, может иметь бесконечное множество значений. Реальные получатели сообщений имеют конечную разрешающую способность, т.е. весьма малый, но не нулевой интервал, внутри которого все разные значения отсчетов воспринимаются как одинаковые. Сказанное свидетельствует о целесообразности квантования. Квантование функции есть, по сути, отображение непрерывного множества ее возможных значений на конечное подмножество ее значений, каждое из которых представляется в виде одного из заранее определенных дискретных уровней, называемых уровнями квантования .

Под шагом квантования понимается разность Dx = x m -x m -1 значений соседних уровней квантования. Число уровней квантования n на единицу больше числа интервалов квантования n-1 . Если квантуемая функция x ограничена диапазоном от x min до x max , то n-1= (x max - x min)/ Dx .

При квантовании обычно истинное значение функции x отождествляется или заменяется значением x i , соответствующим ближайшему уровню квантования.

Естественно, замена истинных значений на значения уровней квантования приводит к ошибке e=x i -x , называемой ошибкой или шумом квантования .

Обычно полагается, что при равномерном квантовании, когда Dx=const, шум квантования – случайная величина с равномерным законом распределения в пределах шага квантования . Максимальная ошибка квантования не превосходит половины шага квантования Dx / 2 . Среднеквадратическая ошибка квантования равна корню квадратному из дисперсии равномерного распределения , т.е. в Ö3 раз меньше максимальной ошибки.

Таким образом, ошибка квантования уменьшается с уменьшением шага квантования Dx . Однако при уменьшении шага растет число уровней квантования, а, следовательно, растет и разрядность чисел, требуемая для их представления. Кроме того, при уменьшении шага квантования его величина может оказаться сопоставимой с уровнем помех. Так что к выбору величины шага квантования необходимо подходить с тех же позиций, что и к выбору шага дискретизации, т.е. выбирать оптимальный шаг квантования с точки зрения обеспечения минимума уровней квантования и заданной величины ошибки квантования.

Рассмотренное квантование производилось с постоянным шагом Dx=const, вследствие чего квантованная функция состояла из одинаковых по величине ступенек. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с различным приращением уровней, т.е. с переменным шагом квантования Dx=var . Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

Таким образом, после выполнения операций дискретизации и квантования непрерывное сообщение представляется конечной последовательностью отсчетов, величина которых может принимать только вполне определенные значения, соответствующие уровням квантования. Если сопоставить каждому уровню квантования число, то непрерывное сообщение в результате выполнения операций дискретизации и квантования будет представлять собой последовательность чисел из конечного интервала, т.е. будет представлено в цифровой форме.

Квантование (англ. quantization) - в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование - разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Проще говоря, квантование – это округление дискретных значений сигнала до ближайших целых чисел из набора фиксированных уровней, на которые разбивается весь диапазон изменения сигнала, число этих уровней конечно и они называются уровнями квантования.

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей. Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает сигнал по уровню. Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений.

При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае равномерного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит ≈ 6 дБ).

Шаг квантования определяется разрядностью АЦП.

Виды квантования.

Равномерное (линейное) квантование - разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного, характеристика квантования в этом случае носит линейный характер (рис. 1 а)):

Рисунок 1. Характеристики квантования: а) линейная; б) нелинейная

Нелинейное квантование – квантование с переменным шагом. Оно позволяет обеспечить достаточно большой динамический диапазон при снижении разрядности АЦП. При этом характеристика квантования имеет вид кривой, близкой к логарифмической. При квантовании малых сигналов шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала – достаточно высокой. При больших значениях сигнала шаг квантования увеличивается, что приводит к возрастанию ошибки. Но так как сигнал в этом случае имеет достаточно большой вес, шум квантования может быть эффективно замаскирован.

Преобразователи с нелинейной характеристикой квантования обеспечивают уменьшение разрядности и, как следствие, уменьшение скорости цифрового потока, но они могут являться источником нежелательных искажений. Слабые сигналы в присутствии сигнала с большой амплитудой из-за большой ошибки квантования могут подавляться на верхнем поддиапазоне.

Квантование по уровню - представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается n - разрядный двоичный код - номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Число уровней квантования n и число двоичных разрядов АЦП определяют динамический диапазон преобразования. Динамический диапазон (в дБ) от числа разрядов АЦП или ЦАП определяется выражением:

где n – число двоичных разрядов.