a. При рассмотрении количественной стороны различных процессов мы почти всегда наблюдаем, что переменные величины зависят друг от друга; например, путь проходимый свободно падающим в пустоте телом зависит только от времени, давление в паровом котле зависит только от температуры пара.

Глубина океана в одном пункте постоянна, но в различных пунктах различна, она зависит только от двух переменных - от географической долготы и географической широты места.

Высота растущего дерева зависим от многих переменных - от солнечного освещения, от влажности, от количества питательных веществ в почве и т. д.

Мы видим, что некоторые переменные изменяются независимо, они и называются независимыми переменными или аргументами, другие же от них зависят их называют функциями.

Сама зависимость называется функциональной. Между прочим, функциональная зависимость представляет собой одно из самых важных понятий математики.

b. Следует всегда различать, от какого числа независимых переменных зависит функция. Проще всего поддаются изучению функции одной переменной, ими мы будем заниматься в первую очередь. Изучение функций многих переменных сложнее, но так или иначе сводится к изучению функций одной переменной.

c. Если мы желаем записать математически, что переменная у зависит от , то будем употреблять такое обозначение:

Эта запись читается так:

Не; следует думать, что буква умножается на , она является лишь сокращением слова «функция», а вся запись является сокращенной фразой (2).

Точно так же, если функция U зависит от двух аргументов то эта зависимость обозначается следующим образом:

Здесь буквы f, х и у также не являются сомножителями.

Совершенно ясно, как обозначается функция трех четырех и большего числа аргументов.

Вместо буквы употребляют и другие буквы чаще всего .

d. Записи типа (1) и (3) являются самыми общими обовначениями функций, так как под ними можно понимать какие угодно функции, а потому, имея в руках только эти обозначения, мы ничего не сможем узнать о свойствах этих функций.

Для того чтобы иметь возможность изучать функцию нужно ее задать.

e. Имеется много способов задать функцию, но все они сводятся к трем основным типам:

1) функцию можно задать таблицей ее числовых значений, соответствующих числовым значениям ее аргумента;

2) функцию можно задать графически;

3) функцию можно задать математической формулой.

f. Приведем примеры. Известно, что при вращении махового колеса возникают напряжения, которые стремятся разорвать его обод. Если обод колеса сделан из однородного материала, то напряжения зависят только от скорости вращения. Обозначая скорость через v, а напряжение в ободе через , мы можем записать что

Теория сопротивления материалов дает такую таблицу для значений функции (4), если обод сделан из литой стали:

Здесь v измеряется в метрах в секунду - в ньютонах на квадратный сантиметр.

Большим достоинством табличного способа Зсдания функции является то, что числа таблицы непосредственно могут быть использованы для различных вычислений.

Недостатком является то, что всякая таблица дается не для всех значений аргумента, а через некоторые интервалы, так что, если каких-либо значений функции в таблице нет, то нужно брать более подробную таблицу; если же последней нет, то приходится подбирать нужное число более или менее приблизительног сообразуясь с характером изменения чисел таблицы,

g. Большим недостатком является также и то, что если таблица содержит много чисел, то характер изменения функции уловить трудно. Наконец, третьим недостатком является то, что изучать свойства функции, заданной таблицей, трудно; кроме того, полученные свойства будут неточными.

h. От первых двух недостатков свободен графический способ задания функции.

Чтобы пояснить графический способ рассмотрим такой пример.

Если какой-либо материал подвергнуть растяжению, то сила, необходимая для растягивания, будет зависеть от того, какое растяжение необходимо сделать, т. е. сила есть функция от удлинения. Если удлинение в процентах обозначить через X, а растягивающую силу, которая обычно измеряется в ньютонах на квадратный сантиметр, обозначить через , то

Для различных материалов эта зависимость будет различной. Возьмем координатные оси и будем считать к за абсциссу, а за ординату, тогда для каждой пары их значений получим точку на плоскости.

Все эти точки расположатся на некоторой кривой, которая имеет различный вид для различных материалов. Существуют приборы, которые такие кривые чертят автоматически.

Для мягкой стали мы получим следующую кривую (рис. 31):

k. Как мы видим, действительно графический снособ нагляден и дает значения функции для всех значений аргумента. Но третий недостаток и здесь имеет место. Изучать свойства функции заданной графически, все-таки затруднительно.

l. Теперь покажем способ задания функции формулой Возьмем такой пример. Площадь круга очевидно зависит от радиуса. Если радиус обозначить через я, а площадь через у, то, как известно из геометрии, где - отношение длины окружности к длине диаметра. Мы видим, что зависимость здесь задается математической формулой, поэтому третий способ называется математическим способом. Еще пример: длина гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от длин обоих катетов. Если длину гипотенузы обозначить через , а длины катетов через то по теореме Пифагора будем иметь

Так как оба катета мы можем изменять независимо друг от друга, то мы имеем здесь пример функции двух аргументов, заданной математически.

Можно привести еще много примеров функций, заданyых математически, из области различных наук.

m. Математический способ обладает огромным преимуществом перед другими способами задания функций, а именно: к изучению функций, заданных математически, можно привлечь математический анализ.

Помимо того, если необходимо, всегда можно математический способ превратить в табличный. Действительно, мы вправе задать аргументам желательные нам числовые значения и по формуле вычислить сколько угодно значений функции. Таким образом, одна формула заменяет всю таблицу.

n. Математический способ имеет только один недостаток, а именно, формула не дает наглядного представления об изменении функции. Однако этот недостаток мы всегда можем восполнить, так как всегда математический способ задания можно превратить в графический. Это делается так.

o. Если мы имеем функцию одной переменной, то составляем таблицу и каждую пару значений аргумента и функции принимаем за координаты, после этого строим возможно большее число точек. Все полученные точки расположатся на некоторой кривой линии, которая и будет графиком функции. Если мы имеем функцию двух или более аргументов, то и ее можно изобразить графически. Но это уже значительно сложнее, а потому этим вопросом мы займемся несколько позднее.

p. Все сказанное свидетельствует о том, что математический способ задания функций является наиболее выгодным.

Поэтому всегда стремятся, если функция задана таблицей или графиком, выразить ее формулой. Эта задача обычно очень трудная, но чрезвычайно важная для естествознания и технических наук. Без преувеличения можно сказать, что все проблемы механики, естествознания - прикладных наук сводятся к установлению и изучению функциональных зависимостей между теми переменными величинами, с которыми эти дисциплины имеют дело. Бела удается эти функциональные зависимости выразить формулами, то наука приобретает надежный рычаг для приложения всей огромной мощи математического анализа и далеко продвигается в своем развитии.

С другой стороны, математический анализ, получая эту прекрасную пищу, сам растет и совершенствуется.

q. Ввиду того, что перевод на язык формул функциональных зависимостей не является непосредственной задачей математики, мы будем предполагать, что функции уже выражены формулами. Таким образом, в дальнейшем мы будем заниматься только функциями, заданными матетатически.

Функциональная взаимозависимость. Если существует функциональная зависимость вида А->В и В->А, то между А и В имеется взаимно однозначное соответствие, или функциональная взаимозависимость, обозначаемая как А<->В или В<->А.

Если отношение находится в 1НФ, то все неключевые атрибуты функцио­нально зависят от ключа с различной степенью зависимости.

Частичной функцио­ нальной зависимостью (частичной ФЗ) называется зависимость неключевого атрибута от части составного ключа. В рассматриваемом отношении атрибут Должн находится в функциональной зависимости от атрибута ФИО, являющегося частью ключа. Тем самым атрибут Должн находится в частичной зависимости от ключа отношения.

Альтернативным вариантом является полная функциональная зависи­ мость неключевого атрибута от всего составного ключа. В нашем примере атрибут ВидЗан находится в полной функциональной зависимости от составного ключа.

Атрибут С зависит от атрибута А транзитивно (существует транзитив ная зависимость), если для атрибутов А, В, С выполняются условия А->В и В->С, но обратная зависимость отсутствует. В отношении на рис. 4.4 транзитивной зависимостью связаны атрибуты:

Ф И О ->Д олжн -> Оклад

Между атрибутами может иметь место многозначная зависимость.

В отношении R атрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами из R,

Многозначные зависимости могут быть «один ко многим» (1:М), «многие к одному» (М:1) или «многие ко многим» (М:М), обозначаемые соответственно: А=>Б, А<=Би А<=>Б.

Например, пусть преподаватель ведет несколько предметов, а каждый предмет может вестись несколькими преподавателями, тогда имеет местозависимость ФИО<=>Предмет. Так, из таблицы, приведенной на рис. 4.4, видно, что преподаватель Иванов И.М. ведет занятия по двум предметам, а дисциплина СУБД - читается двумя преподавателями: Ивановым И.М. и Петровым М.И.

Замечание . В общем случае между двумя атрибутами одного отношения могут существовать зависимости: 1:1, 1:М, М:1 и М:М. Поскольку зависимость между атрибутами является причиной аномалий, стараются расчленить отношения с зависимостями атрибутов на несколько отношений. В результате образуется совокупность связанных отношений (таблиц) со связями вида 1:1, 1:М, М:1 и М:М (подраздел 3.2). Связи между таблицами отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Взаимно независимые атрибуты. Два или более атрибута называютсявзаимно независимыми, если ни один из этих атрибутов не является функционально зависимым от других атрибутов. В случае двух атрибутов отсутствие зависимости атрибута А от атрибута В можно обозначить так: A¬->B. Случай, когда A¬->В и B¬->A, можно обо­значить А¬<->В.

4.3.3 Аксиомы Армстронга

Чтобы определить ключи и понять логические следствия функциональных зависимостей в общем случае, необходимо вычислить замыкание F + изF или по крайней мере знать для заданногоF и функциональной зависимостиX Y , содержится лиX Y вF + . Для этого необходимо иметь правила вывода, которые указывают, как из одной или более зависимостей выводить другие зависимости.

Множество таких правил называют аксиомами Армстронга . Предположим, что задана некоторая схема отношения с множеством атрибутовМ, универсальным множеством атрибутов, и множество функциональных зависимостейF , связывающих только атрибуты, принадлежащиеМ. Тогда имеем следующие правила вывода (аксиомы):

А1: (рефлексивность). ЕслиY ≤ X ≤ М, то X Y логически следует изF . Заметим, что это правило даеттривиальные зависимости, т. е. зависимости, правая часть которых содержится в левой части. Его использование не зависит отF .

А2: (пополнение). ЕслиX Y иZ≤ М , тоX UZ  Y UZ . Важно напомнить, что данная зависимостьX Y либо принадлежитF , либо может быть выведена из принадлежащихF зависимостей с использованием описываемых аксиом.

A3:(транзитивность). ЕслиX Y иY Z, тоX Z .

Относительно легко доказывается, что аксиомы Армстронга являются надежными, т. е. приводят только к истинным заключениям. Это означает, что используя их, мы не можем вывести из F какую-либо зависимость, которая не принадлежитF + . Более сложно доказать их полноту, означающую, что эти аксиомы могут быть использованы для получения каждого справедливого следствия из зависимостей. Это означает, что при заданном множестве зависимостейF правила позволяют нам вывести все зависимости, принадлежащиеF + .

Из аксиом Армстронга выводятся еще 5 аксиом (расширения, продолжения, псевдотранзитивности, объединения и декомпозиции), используемых для построенияполного семейства ФЗ.

При представлении концептуальной схемы в виде реляционной модели возможны различные варианты выбора схем отношений. Одни варианты выбора рассматривались в предыдущих разделах (п. 6.2.3), другие получаются объединением (или разбиением) некоторых схем отношений. От правильного выбора схем отношений, представляющих концептуальную схему, в значительной степени будет зависеть эффективность функционирования базы данных .

Рассмотрим для примера конкретную схему отношений и проанализируем её недостатки. Предположим, что данные о студентах, факультетах, специальностях, включены в таблицу со следующей схемой отношения: СТУДЕНТ (Код студента, Фамилия, Название факультета, Название специальности).

Эта схема отношений обусловливает следующие недостатки соответствующей базы данных :

• Дублирование информации (избыточность). У студентов, обучающихся на одном факультете, будет повторяться название факультета. Для разных факультетов будут повторяться специальности.
• Потенциальная противоречивость (аномалии обновления ). Если, например, изменится название специальности, то изменяя её в одном кортеже (у одного студента), необходимо изменять и во всех других кортежах, где она присутствует.
• Потенциальная возможность потери сведений (аномалии удаления ). При удалении информации о всех студентах, поступающих на определенную специальность, мы теряем все сведения об этой специальности.
• Потенциальная возможность невключения информации в базу данных (аномалии включения ). В базе данных будут отсутствовать сведения о специальности, если на ней нет обучающихся студентов.

В теории реляционных баз данных существуют формальные методы построения реляционной модели базы данных , в которой отсутствует избыточность и аномалии обновления , удаления и включения.

Нормализация. Первая нормальная форма .

Построение рационального варианта схем отношений (обладающего лучшими свойствами при операциях включения, модификации и удаления данных, чем все остальные наборы схем) осуществляется путем так называемой нормализации схем отношений . Нормализация производится в несколько этапов. На начальном этапе схема отношений должна находиться в первой нормальной форме ( 1НФ ).

Отношение находится в первой нормальной форме , если все атрибуты отношения принимают простые значения (атомарные или неделимые), не являющиеся множеством или кортежем из более элементарных составляющих .

Рассмотрим следующий пример.

Таблица представляет сущность ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ВЕДОМОСТЬ

Теперь на пересечении любой строки и любого столбца находится одно значение и, следовательно, данная таблица находится в первой нормальной форме .

Далее отношение , представленное в первой нормальной форме , последовательно преобразуется во вторую и третью нормальные формы . Процесс построения второй и третьей нормальных форм будет описан в следующих подразделах. При некоторых предположениях о данных третья нормальная форма является искомым наилучшим вариантом.

Если эти предположения не выполняются, то процесс нормализации продолжается и отношение преобразуется в четвертую и пятую нормальные формы . Построение соответствующих форм описано в литературе и в данной книге не рассматривается.

Прежде чем перейти к построению второй нормальной формы , необходимо определить ряд формальных понятий.

8.2. Функциональные зависимости (зависимости между атрибутами отношения)

Пусть R(A 1 , A 2 , ..., A n) – схема отношения , а X и Y – подмножества {A 1 , A 2 , ..., A n } .

Функциональная зависимость на отношении R – это утверждение вида "Если два кортежа R совпадают по атрибутам множества (т.е. эти кортежи имеют в соответствующих друг другу компонентах одни и те же значения для каждого атрибута множества X ), то они должны совпадать и по атрибутам множества . Формально эта зависимость записывается выражением X -> Y , причем говорится, что X функционально определяет Y . Часто используется другое утверждение: X функционально определяет Y или Y функционально зависит от X (обозначается X -> Y ) тогда и только тогда, когда каждое значение множества X отношения R связано с одним значением множества Y отношения R . Иначе говоря, если два кортежа R совпадают по значению X , они совпадают и по значению Y .

Замечание. Вообще говоря, под термином " отношение " могут подразумеваться два понятия:

• отношение как переменная, которая может принимать разные значения (таблица, в строки и столбцы которой могут быть вписаны разные значения);
• отношение, как набор конкретных значений (таблица с заполненными элементами).

Функциональные зависимости характеризуют все отношения, которые могут быть значениями схемы отношения R в принципе. Поэтому единственный способ определить функциональные зависимости – внимательно проанализировать семантику (смысл) атрибутов.

Функциональные зависимости являются, в частности, ограничениями целостности, поэтому целесообразно проверять их при каждом обновлении базы данных .

Пример функциональных зависимостей для отношения ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ВЕДОМОСТЬ

Код студента -> Фамилия Код студента, Код экзамена -> Оценка

Пример функциональных зависимостей для отношения СТУДЕНТ, приведенного в начале настоящей лекции

Код студента -> Фамилия, Код студента -> Факультет

Заметим, что последняя зависимость существует при условии, что один студент не может обучаться на нескольких факультетах.

Полное множество функциональных зависимостей

Для каждого отношения существует вполне определенное множество функциональных зависимостей между атрибутами данного отношения. Причем из одной или более функциональных зависимостей, присущих рассматриваемому отношению, можно вывести другие функциональные зависимости , также присущие этому отношению.

Заданное множество функциональных зависимостей для отношения R обозначим F , полное множество функциональных зависимостей, которые логически можно получить из F , называется замыканием F и обозначается F + .

Если множество функциональных зависимостей совпадает с замыканием данного множества, то такое множество функциональных зависимостей называется полным .

Введенные понятия позволяют формально определить понятие ключа.

Пусть существует некоторая схема R с атрибутами A 1 A 2 ...A n , F – некоторое множество функциональных зависимостей и X – некоторое подмножество R . Тогда X называется ключом, если, во-первых, в F + существует зависимость X -> A 1 A 2 ...A n и, во-вторых, ни для какого подмножества Y , входящего в X , зависимость Y -> A 1 A 2 ...A n не принадлежит F + .

Полной функциональной зависимостью называется зависимость неключевого атрибута от всего составного ключа .

Частичной функциональной зависимостью будем называть зависимость неключевого атрибута от части составного ключа .

Для вычисления замыкания множества функциональных зависимостей используются следующие правила вывода (

Ограничения уникальности, накладываемые объявлениями первичного и кандидатных ключей отношения, является частным случаем ограничений, связанных с понятием функциональных зависимостей .

Для объяснения понятия функциональной зависимости, рассмотрим следующий пример.

Пусть нам дано отношение, содержащее данные о результатах какой-то одной конкретной сессии. Схема этого отношения выглядит следующим образом:

Сессия (№ зачетной книжки , Фамилия, Имя, Отчество, Предмет , Оценка);

Атрибуты «№ зачетной книжки» и «Предмет» образуют составной (так как ключом объявлены два атрибута) первичный ключ этого отношения. Действительно, по двум этим атрибутам можно однозначно определить значения всех остальные атрибутов.

Однако, помимо ограничения уникальности, связанной с этим ключом, на отношение непременно должно быть наложено то условие, что одна зачетная книжка выдается обязательно одному конкретному человеку и, следовательно, в этом отношении кортежи с одинаковым номером зачетной книжки должны содержать одинаковые значения атрибутов «Фамилия», «Имя» и «Отчество».

Если у нас имеется следующий фрагмент какой-то определенной базы данных студентов учебного заведения после какой-то сессии, то в кортежах с номером зачетной книжки 100, атрибуты «Фамилия», «Имя» и «Отчество» совпадают, а атрибуты «Предмет» и «Оценка» – не совпадают (что и понятно, ведь в них речь идет о разных предметах и успеваемости по ним). Это значит, что атрибуты «Фамилия», «Имя» и «Отчество» функционально зависят от атрибута «№ зачетной книжки», а атрибуты «Предмет» и «Оценка» функционально не зависят.

Таким образом, функциональная зависимость – это однозначная зависимость, затабулированная в системах управления базами данных.

Теперь дадим строгое определение функциональной зависимости.

Определение : пусть X, Y – подсхемы схемы отношения S, определяющие над схемой S схему функциональной зависимости X > Y (читается «X стрелка Y»). Определим ограничения функциональной зависимости inv > Y> как утверждение о том, что в отношении со схемой S любые два кортежа, совпадающие в проекции на подсхему X, должны совпадать и в проекции на подсхему Y.

Запишем это же определение в формулярном виде:

Inv > Y> r (S ) = t 1 , t 2 ? r (t 1 [X ] = t 2 [X ] ? t 1 [Y ] = t 2 [Y ]), X , Y ? S;

Любопытно, что в этом определении использовано понятие унарной операции проекции, с которым мы сталкивались раньше. Действительно, как еще, если не использовать эту операцию, показать равенство друг другу двух столбцов таблицы-отношения, а не строк? Поэтому мы и записали в терминах этой операции, что совпадение кортежей в проекции на какой-то атрибут или несколько атрибутов (подсхему X) непременно влечет за собой совпадение этих же столбцов-кортежей и на подсхеме Y в том случае, если Y функционально зависит от X.

Интересно заметить, что в случае функциональной зависимости Y от X, говорят также, что X функционально определяет Y или что Y функционально зависит от X. В схеме функциональной зависимости X > Y подсхема X называется левой частью, а подсхема Y – правой частью.

На практике проектирования баз данных на схему функциональной зависимости для краткости обычно ссылаются как на функциональную зависимость.

Конец определения .

В частном случае, когда правая часть функциональной зависимости, т. е. подсхема Y, совпадает со всей схемой отношения, ограничение функциональной зависимости переходит в ограничение уникальности первичного или кандидатного ключа. Действительно:

Inv <K > S > r (S ) = ? t 1 , t 2 ? r (t 1 [K ] = t 2 [K ] > t 1 (S ) = t 2 (S )), K ? S ;

Просто в определении функциональной зависимости вместо подсхемы X нужно взять обозначение ключа K, а вместо правой части функциональной зависимости, подсхемы Y взять всю схему отношений S, т. е., действительно, ограничение уникальности ключей отношений является частным случаем ограничения функциональной зависимости при равенстве правой части схемы функциональной зависимости всей схеме отношения.

Приведем примеры изображения функциональной зависимости:

{№ зачетной книжки} > {Фамилия, Имя, Отчество};

{№ зачетной книжки, Предмет} > {Оценка};

2. Правила вывода Армстронга

Если какое-либо базовое отношение удовлетворяет векторно определенным функциональным зависимостям, то с помощью различных специальных правил вывода можно получить другие функциональные зависимости, которым данное базовое отношение будет заведомо удовлетворять.

Хорошим примером таких специальных правил являются правила вывода Армстронга.

Но прежде чем приступать к анализу самих правил вывода Армстронга, введем в рассмотрение новый металингвистический символ «+», который называется символом метаутверждения о выводимости . Этот символ при формулировании правил записывается между двумя синтаксическими выражениями и свидетельствует о том, что из формулы, стоящей слева от него, выводится формула, стоящая справа от него.

Сформулируем теперь сами правила вывода Армстронга в виде следующей теоремы.

Теорема. Справедливы следующие правила, называемые правилами вывода Армстронга.

Правило вывода 1. + X > X;

Правило вывода 2. X > Y+ X ? Z > Y;

Правило вывода 3. X > Y, Y ? W > Z + X ? W > Z;

Здесь X, Y, Z, W – произвольные подсхемы схемы отношения S. Символ метаутверждения о выводимости разделяет списки посылок и списки утверждений (заключений).

1. Первое правило вывода называется «рефлексивность » и читается следующим образом: «выводится правило: “X функционально влечет за собой X”». Это самое простое из правил вывода Армстронга. Оно выводится буквально из воздуха.

Интересно заметить, что функциональная зависимость, обладающая и левой, и правой частями, называется рефлексивной . Согласно правилу рефлексивности ограничение рефлексивной зависимости выполняется автоматически.

2. Второе правило вывода называется «пополнение » и читается таким образом: «если X функционально определяет Y, то выводится правило: “объединение подсхем X и Z функционально влечет за собой Y”». Правило пополнения позволяет расширять левую часть ограничения функциональных зависимостей.

3. Третье правило вывода называется «псевдотранзитивность » и читается следующим образом: “если подсхема X функционально влечет за собой подсхему Y и объединение подсхем Y и W функционально влекут за собой Z, то выводится правило: «объединение подсхем X и W функционально определяют подсхему Z»”.

Правило псевдотранзитивности обобщает правило транзитивности, соответствующее частному случаю W: = 0. Приведем формулярную запись этого правила:

Необходимо отметить, что посылки и заключения, приведенные ранее, были представлены в сокращенной форме обозначениями схем функциональной зависимости. В расширенной форме им соответствуют следующие ограничения функциональных зависимостей.

Правило вывода 1. inv X> r(S);

Правило вывода 2. inv Y> r(S) ? inv Y> r(S);

Правило вывода 3. inv Y> r(S) & inv Z> r(S) ? inv Z> r(S);

Проведем доказательства этих правил вывода.

1. Доказательство правила рефлексивности следует непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости при подстановке вместо подсхемы Y – подсхемы X.

Действительно, возьмем ограничение функциональной зависимости:

Inv Y> r(S) и подставим в него X вместо Y, получим:

Inv X> r(S), а это и есть правило рефлексивности.

Правило рефлексивности доказано.

2. Доказательство правила пополнения проиллюстрируем на диаграммах функциональной зависимости.

Первая диаграмма – это диаграмма посылки:

посылка: X > Y

Вторая диаграмма:

заключение: X ? Z > Y

Пусть кортежи равны на X ? Z. Тогда они равны на X. Согласно посылке они будут равны и на Y.

Правило пополнения доказано.

3. Доказательство правила псевдотранзитивности также проиллюстрируем на диаграммах, которых в этом конкретном случае будет три.

Первая диаграмма – первая посылка:

посылка 1: X > Y

посылка 2: Y ? W > Z

И, наконец, третья диаграмма – диаграмма заключения:

заключение: X ? W > Z

Пусть кортежи равны на X ? W. Тогда они равны и на X, и на W. Согласно Посылке 1, они будут равны и на Y. Отсюда, согласно Посылке 2, они будут равны и на Z.

Правило псевдотранзитивности доказано.

Все правила доказаны.

3. Производные правила вывода

Другим примером правил, с помощью которых можно, при необходимости вывести новые правила функциональной зависимости, являются так называемые производные правила вывода .

Что это за правила, как они получаются?

Известно, что если из одних правил, уже существующих, законными логическими методами вывести другие, то эти новые правила, называемые производными , можно использовать наряду с исходными правилами.

Необходимо специально отметить, что эти самые произвольные правила являются «производными» именно от пройденных нами ранее правил вывода Армстронга.

Сформулируем производные правила вывода функциональных зависимостей в виде следующей теоремы.

Теорема.

Следующие правила являются производными от правил вывода Армстронга.

Правило вывода 1. + X ? Z > X;

Правило вывода 2. X > Y, X > Z + X ? Y > Z;

Правило вывода 3. X > Y ? Z + X > Y, X > Z;

Здесь X, Y, Z, W, так же как и в предыдущем случае, – произвольные подсхемы схемы отношения S.

1. Первое производное правило называется правилом тривиальности и читается следующим образом:

«Выводится правило: “объединение подсхем X и Z функционально влечет за собой X”».

Функциональная зависимость с левой частью, являющейся подмножеством правой части, называется тривиальной . Согласно правилу тривиальности ограничения тривиальной зависимости выполняются автоматически.

Интересно, что правило тривиальности является обобщением правила рефлексивности и, как и последнее, могло бы быть получено непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости. Тот факт, что это правило является производным, не случаен и связан с полнотой системы правил Армстронга. Подробнее о полноте системы правил Армстронга мы поговорим чуть позднее.

2. Второе производное правило называется правилом аддитивности и читается следующим образом: «Если подсхема X функционально определяет подсхему Y, и X одновременно функционально определяет Z, то из этих правил выводится следующее правило: “X функционально определяет объединение подсхем Y и Z”».

3. Третье производное правило называется правилом проективности или правилом «обращение аддитивности ». Оно читается следующим образом: «Если подсхема X функционально определяет объединение подсхем Y и Z, то из этого правила выводится правило: “X функционально определяет подсхему Y и одновременно X функционально определяет подсхему Z”», т. е., действительно, это производное правило является обращенным правилом аддитивности.

Любопытно, что правила аддитивности и проективности применительно к функциональным зависимостям с одинаковыми левыми частями позволяют объединять или, наоборот, расщеплять правые части зависимости.

При построении цепочек вывода после формулировки всех посылок применяется правило транзитивности с той целью, чтобы включить функциональную зависимость с правой частью, находящейся в заключении.

Проведем доказательства перечисленных произвольных правил вывода.

1. Доказательство правила тривиальности .

Проведем его, как и все последующие доказательства, по шагам:

1) имеем: X > X (из правила рефлексивности вывода Армстронга);

Правило тривиальности доказано.

2. Проведем пошаговое доказательство правила аддитивности :

1) имеем: X > Y (это посылка 1);

2) имеем: X > Z (это посылка 2);

3) имеем: Y ? Z > Y ? Z (из правила рефлексивности вывода Армстронга);

4) имеем: X ? Z > Y ? Z (получаем при помощи применения правила псевдотранзитивности вывода Армстронга, а потом как следствие первого и третьего шагов доказательства);

5) имеем: X ? X > Y ? Z (получаем, применяя правило псевдотранзитивности вывода Армстронга, а после следует из второго и четвертого шагов);

6) имеем X > Y ? Z (следует из пятого шага).

Правило аддитивности доказано.

3. И, наконец, проведем построение доказательства правила проективности :

1) имеем: X > Y ? Z, X > Y ? Z (это посылка);

2) имеем: Y > Y, Z > Z (выводится при помощи правила рефлексивности вывода Армстронга);

3) имеем: Y ? z > y, Y ? z > Z (получается из правила пополнения вывода Армстронга и следствием из второго шага доказательства);

4) имеем: X > Y, X > Z (получается, применением правила псевдотранзитивности вывода Армстронга, а затем как следствие из первого и третьего шагов доказательства).

Правило проективности доказано.

Все производные правила вывода доказаны.

4. Полнота системы правил Армстронга

Пусть F (S ) - заданное множество функциональных зависимостей, заданных над схемой отношения S.

Обозначим через inv <F (S )> ограничение, накладываемое этим множеством функциональных зависимостей. Распишем его:

Inv <F (S )> r (S ) = ?X > Y ?F (S ) [inv Y> r (S )].

Итак, это множество ограничений, накладываемое функциональными зависимостями, расшифровывается следующим образом: для любого правила из системы функциональных зависимостей X > Y, принадлежащего множеству функциональных зависимостей F (S ), действует ограничение функциональных зависимостей inv Y> r (S ), определенных над множеством отношения r (S ).

Пусть какое-то отношение r (S ) удовлетворяет этому ограничению.

Применяя правила вывода Армстронга к функциональным зависимостям, определенным для множества F (S ), можно получить новые функциональные зависимости, как уже было сказано и доказано нами ранее. И, что показательно, ограничениям этих функциональных зависимостей отношение F (S ) будет автоматически удовлетворять, что видно из расширенной формы записи правил вывода Армстронга. Напомним общий вид этих расширенных правил вывода:

Правило вывода 1. inv < X > X > r (S );

Правило вывода 2. inv Y> r (S ) ? inv ? Z > Y> r (S );

Правило вывода 3. inv Y> r (S ) & inv ? W > Z> r (S ) ? inv ? W > Z>;

Возвращаясь к нашим рассуждениям, пополним множество F (S ) новыми, выведенными из него же с помощью правил Армстронга зависимостями. Будем применять эту процедуру пополнения до тех пор, пока у нас не перестанут получаться новые функциональные зависимости. В результате этого построения мы получим новое множество функциональных зависимостей, называемое замыканием множества F (S ) и обозначаемое F + (S) .

Действительно, такое название вполне логично, ведь мы собственноручно путем длительного построения «замкнули» множество имеющихся функциональных зависимостей само на себе, прибавив (отсюда «+») все новые функциональные зависимости, получившиеся из имеющихся.

Необходимо заметить, что этот процесс построения замыкания конечен, ведь конечна сама схема отношения, на которой и проводятся все эти построения.

Само собой разумеется, что замыкание является надмножеством замыкаемого множества (действительно, ведь оно больше!) и ни сколько не изменяется при своем повторном замыкании.

Если записать только что сказанное в формулярном виде, то получим:

F (S ) ? F + (S ), [F + (S )] + = F + (S );

Далее из доказанной истинности (т. е. законности, правомерности) правил вывода Армстронга и определения замыкания следует, что любое отношение, удовлетворяющее ограничениям заданного множества функциональных зависимостей, будет удовлетворять ограничению зависимости, принадлежащей замыканию.

X > Y ? F + (S ) ? ?r (S ) [inv <F (S )> r (S ) ? inv Y> r (S )];

Итак, теорема полноты системы правил вывода Армстронга утверждает, что внешняя импликация может совершенно законно и обоснованно быть заменена эквивалентностью.

(Доказательство этой теоремы мы рассматривать не будем, так как сам процесс доказательства не столь важен в нашем конкретном курсе лекций.)

Информация всегда имела адекватный динамичный интерес. Развитие языков программирования, реляционных баз данных и информационных технологий кардинально изменило содержание и структуру интереса. Сложилась определенная строгая система представлений. Формализация, точная математика и бинарные отношения стали успешной и, стремительно развивающейся, областью знаний и опыта.

Естественный мир информации не поменял своей динамики и, развивая содержание и структуру, поднялся на новую высоту. Он имеет плавные формы, и в природе нет ничего «прямоугольного» . Информация, безусловно, поддается формализации, но у нее есть динамика, меняются не только данные и алгоритмы их обработки, меняются сами задачи и области их применения.

Информация > формализация >> данные

Информация, превращается в информационная структура, база данных…) так, как это видит программист. Нет никакой гарантии, что это видение правильно, но если его программа решает поставленную задачу, значит данные были представлены возможно надлежащим образом.

Вопрос о том, насколько была правильно формализована информация - вопрос времени. До сих пор понятие динамики (самоадаптации к изменяющимся условиям использования) - только лишь мечта программирования.

Функциональная зависимость: «правильное решение = программа (программист)» и условие: «непрерывное соответствие задаче» действительны в большинстве случаев, но только совместно. Но это не та математическая основа, которая применяется при создании баз данных.

Прямое утверждение: естественная и непрерывная динамика информации и алгоритмов решения задач действительно всегда. А это бинарные отношения + строгая математика + точные формальные конструкции, + ...

и базы данных

Как хранятся данные уже давно неважно: будь то оперативная память или внешнее устройство. Аппаратная составляющая достигла уверенных темпов развития и обеспечивает хорошее качество в больших объемах.

Основные варианты хранения, отличающиеся вариантами использования данных:

• файлы;
• базы данных.

Первое отдано на откуп программисту (что записывать, в каком формате, как это делать, как читать…), второе сразу приносит необходимость познания простой функциональной зависимости.

Скорость выборки и записи информации при работе с файлами (разумного размера, а не астрономического) очень быстра, а скорость аналогичных операций с базой данных может порой быть заметно медленной.

Личный опыт и коллективный разум

В истории были попытки выйти за достигнутые пределы, но по сей день властвуют реляционные базы данных. Накоплен большой теоретический потенциал, практика применения обширная, а разработчики - высококвалифицированные.

Понятие функциональной зависимости разработчики баз данных навязывают программисту, даже если тот не намерен использовать богатый математическо-логический опыт построения сложных информационных структур, процессов работы с ними, выборки и записи информации.

Даже в самом простом случае программист зависит от логики базы данных, какую бы он ни выбрал для работы. Нет желания следовать канонам, можно использовать файлы, получится много файлов и много личного опыта. Будет потрачено много личного времени и задача будет решена за длительное время.

Какими бы сложными ни казались примеры функциональной зависимости, вовсе не обязательно погружаться в глубины смысла и логики. Часто следует признать, что коллективный разум сумел создать отличные базы данных, различного размера и функциональности:

• солидный Oracle;
• требовательный MS SQL Server;
• популярный MySQL.

Прекрасные реляционные базы данных с хорошей репутацией, удобные в использовании, быстрые в умелых руках. Их применение экономит время и избавляет от необходимости писать очередные простыни вспомогательного кода.

Особенности программирования и данных

У программирования с давних пор болезнь что-то постоянно переписывать, повторять труд предшественников, чтобы как-то что-то адаптировать к изменившейся информации, задаче или условиями ее использования.

Особенность функциональной зависимости в том, что, как и в программировании, ошибка может стоить очень дорого. Задача редко бывает простой. Обычно, в ходе формализации информации, получается сложное представление данных. Обычно выделяются их элементы, потом они увязываются ключами в определенные отношения, потом налаживаются алгоритмы формирования таблиц, запросы, алгоритмы выборки информации.

Часто большое значение имеет привязка к кодировке. Не все базы данных предлагают мобильные решения, часто можно столкнуться с тем, как прекрасно настроенный MySQL, на котором лежит десяток баз данных, отлично и стабильно работающий, вынуждает разработчика делать одиннадцатую базу подобной тем, которые уже есть.

Бывают случаи, когда общий хостинг ограничивает функциональность PHP и это накладывает отпечаток на программирование доступа к базе данных.

В современном программировании ответственность за алгоритм программы эквивалентна ответственности за создание модели данных. Все должно работать, но не всегда следует погружаться в дебри теории.

БД: простая зависимость в данных

Прежде всего, понятие БД - это и база данных как система управления (например, MySQL), так и некая информационная структура, отражающая данные задачи и связи между ними. Одна база MySQL «держит» на себе сколько угодно информационных структур по различным сферам применения. Одна база Oracle, может обеспечивать информационные процессы крупной компании или банка, контролировать вопросы безопасности и сохранности данных на высочайшем уровне, располагаясь на множестве компьютеров, находящихся на различном удалении, в различных инструментальных средах.

Принято полагать, что отношение есть основное в реляционной модели. Элементарное отношение - это множество колонок с именами и строк со значениями. Классический «прямоугольник» (таблица) - простое и эффективное достижение прогресса. Сложности и функциональная зависимость базы данных начинаются, когда «прямоугольники» начинают вступать в отношения друг с другом.

Имя каждой колонки в каждой таблице должно быть уникальным в контексте задачи. Одно и то же данное не может быть в двух таблицах. Знать смысл понятий:

• «определить сущности»;
• «исключить избыточность»;
• «зафиксировать взаимосвязи»;
• «обеспечить достоверность».

Элементарная необходимость для использования базы данных и построения модели данных для конкретной задачи.

Нарушение любого из этих понятий - низкая эффективность алгоритма, медленная выборка данных, потеря данных, и другие неприятности.

Функциональная зависимость: логика и смысл

Можно не читать про кортежи отношений, про то что функция - это соответствие множества аргументов множеству значений, а функция - это не только формула или график, но может быть задана множеством значений - таблицей.

Не обязательно, но вовсе не помешает представлять функциональную зависимость как:

F(x1, x2, …, xN) = (y1, y2, …, yN).

Но обязательно понимать, что на входе - таблица, на выходе тоже таблица или конкретное решение. Обычно функциональная зависимость устанавливает логику отношений между таблицами, запросами, привилегиями, триггерами, хранимыми процедурами и другими моментами (компонентами) базы данных.

Обычно, таблицы преобразуются друг в друга, потом в результат. Но использование функциональной зависимости не ограничивается только такой идеей. Программист сам строит свое представление картины данных, информационной структуры… неважно, как это именовать, но если оно работает на конкретной базе данных, оно должно строиться по ее логике, учитывать ее смысл и диалект используемого языка, как правило, SQL.

Можно утверждать, что свойства функциональных зависимостей базы данных доступны через диалект используемого языка SQL. Но гораздо важнее понимать: после всех перипетий развития, не так много баз данных выжило, но диалектов этого языка много и особенностей внутренних конструкций в базах тоже.

О старом добром Excel

Когда компьютер показал себя с положительной стороны, мир сразу разделился на программистов и пользователей. Как правило, первые используют:

• PHP, Perl, JavaScript, C++, Delphi.
• MySQL, Oracle, Visual FoxPro.

• Word.
• Excel.

Некоторые пользователи умудряют делать самостоятельно (без помощи программистов) в Word базы данных - реальный нонсенс.

Опыт работы пользователей в Excel по созданию баз данных - практичен и интересен. Важно то, что Excel, сам по себе, функционален, красочен и практичен.

Табличная идея, определила понятие функциональной зависимости наглядно и доступно, но нюансы есть у каждой базы данных. У каждой свое «лицо», но все от Excel до Oracle манипулируют простыми квадратами, то есть таблицами.

Если учесть, что Excel - это совсем не база данных, но многие юзеры (не программисты) его именно так используют, а Oracle - это сложнейшее и мощнейшее достижение большого коллектива разработчиков именно в области баз данных, то становится естественным признать - база данных это представление конкретного программиста (коллектива) о конкретной задаче и ее решении.

Что такое функциональная зависимость, с чем, куда, почему… очевидно только автору или коллективу таковых.

О том, куда реляционные отношения идут

Научно-технический прогресс - весьма мучительная процедура, а местами жестокая. Если вспомнить с чего начинались базы данных, что такое *.dbf, как клеймили кибернетику, потом полюбили информатику и стали устраивать препоны перемещению высоких технологий на уровне стран, становится ясно почему реляционные базы данных так живучи и хороши. Почему классический стиль программирования по сей день живет, а объектно-ориентированное программирование просто ценится, но еще не властвует.

Как бы ни была прекрасна функциональная зависимость в контексте математики:

Это не бинарные отношения, точнее, это повод переосмыслить идею устанавливать отношения между множеством атрибутов, исследовать связи «один к многим», «многие к одному», «многие ко многим» или «многие вообще, а одни в частности».

Вариантов отношений можно придумать великое множество. Это математика с логикой, и она строгая! Информация - это своя математика, особенная. В ней о формальности можно говорить только с очень большим минусом.

Можно формализовать работу отдела кадров, написать АСУ для добычи нефти или производства молока, хлеба, сделать выборку в огромной базе гугла, яндекса или рамблера, но результат будет всегда статичен и каждый момент времени одинаков!

Если функциональная зависимость = строгая логика и математика = основа для баз данных, то о какой динамике можно вести речь. Любое решение будет формальным, любая формальная модель данных + строгий алгоритм = точное и однозначное решение. Информация и область применения любой программы меняются всегда.

Выборка поисковой системы на одной и той же поисковой фразе не может быть одной и той же через час или через два и, однозначно, через день - если поисковая фраза относится к области информации, в которой количество сайтов, ресурсов, знаний, прочих элементов непрерывно меняется.

Даже если программа чисто математическая и ее база данных даже не мыслит о динамике, все всегда есть строки . А у строки есть длинна. И бесконечной она быть не может. Она не может быть даже переменной, только условно-переменной. Помимо всего прочего, любая база данных своим математическим и бинарным-бюрократическим аппаратом накладывает массу формальностей, а это скорость+качество выборки и обработки информации.

А если те или иные поля в базе данных числа, особенно вещественные то в ограничения добавятся: разрядность числа, наличие буквы "е", формата представления - короче везде и всегда имеем важные свойства функциональных зависимостей базы данных: строки условно-переменной длины с массой бинарных формальностей и строгих математических ограничений.

Если сменить тон и прислушаться к пульсу динамики, то все можно расписать на объекты. В первом приближении имя колонки в таблице - это объект, список имен - тоже объект, короче таблица - это объект шапки и в нем имена колонок в шапке. И шапки может вовсе не быть...

Но в таблице могут быть строки. И в строке могут быть значения. И почему их всегда должно быть одинаковое количество. Полная квадратная таблица - это частность, причем в большинстве случаев, частная.

Если представить все конструкции в базе данных объектами, то, быть может, не придется выстраивать строгие бинарные отношения. В этом есть естественный и реальный смысл хотя бы потому, что это по объективной (однозначно не математической) логике отражает динамику информации и среды, в которой существуют задачи.