5 системы счисления. Малый математический факультет. Перевод целых десятичных чисел в любую другую систему счисления

Методический комментарий к уроку

Цели учителя: Показать учащимся методы интеграции знаний из различных источников, создать условия для продуктивной работы в группах.

Цели учащихся: Познакомиться с историей появления систем счисления, узнать принципы построения различных систем счисления и области их использования, получить необходимые навыки командной работы с различными источниками информации.

На уроке математике в 5-м классе во время выполнения задания, связанного с разложением по разрядам многозначных чисел, у учащихся возникли вопросы: “Почему мы считаем десятками? Почему нельзя считать по-другому? Есть ли другие способы счёта?”. Учителем было предложено найти ответы на данные вопросы путём поиска, анализа и обобщения информации по данной теме в течение недели, работая в малых группах, сформированных из учащихся класса по желанию. Результаты данной работы должны быть оформлены и представлены на уроке математике через неделю. По окончании урока класс разбился на следующие творческие группы:

• Системы счисления (общие понятия) – 5 человек
• Двоичная система – 7 человек (этот вопрос вызвал наибольший интерес)
• Шестидесятеричная система– 5 человек
• Десятичная система– 5 человек
• Другие системы счисления – 3 человека
• Перевод их одной системы в другую – 5 человек.

В результате поисковой деятельности учащихся получился следующий урок:

“Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”

(И-В Гёте)

Группами учащихся были представлены результаты поисковой и аналитической работы.

I – Общие понятия

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел – язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом – правило, позволяющее сформулировать запись числа однозначно.

Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества

Цифра – это знак, используемый для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры; менее распространёнными римские цифры (можно увидеть на циферблате часов или в обозначении века)

Основание – количество цифр, используемых в системе счисления.

Примеры чисел в различных системах счисления:

11001 2 – число в двоичной системе счисления

221 3 – число в троичной системе счисления

31 8 – число в восьмеричной системе счисления

25 10 – число в десятичной системе счисления

В старых книгах по арифметике, кроме 4 арифметических действий, упоминается и пятое – нумерация. Нумерация (счисление) была одной из первых проблем, с которой столкнулись при построении арифметики.

Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы можно разделить на три группы:

• позиционные системы счисления
• смешанные системы счисления
• непозиционные системы счисления

Денежные знаки – пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1коп., 5коп., 10коп., 50коп., 1руб., 2руб.,5руб., 10руб., 50руб., 100руб., 500руб., 1000руб., 5000руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, надо использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 рублей. Чтобы заплатить за покупку потребуется 6 купюр по 1000 рублей, 3 купюры по 100 рублей, 1 пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая и две монеты по 2 рубля. Если мы запишем количество купюр и монет, начиная с 100 рублей и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления: в нашем случае – 603121200000.

В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры можно переставлять, при этом сумма не изменится. Примером непозиционной системы является римская система. Такие системы строятся по принципу аддитивности (англ. аdd. – сумма). Количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр. Например:

В позиционных системах счисления всегда важен порядок расположения цифр в записи числа. (25 и 52 – разные числа)

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

• возможность представления числа в заданном диапазоне чисел
• однозначность представления
• краткость и простоту записи
• лёгкость овладения системой, а так же простота и удобство оперирования ею

II – Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью двух символов: 1 и 0. Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр – байт.

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё в XVII-XIX веках. Выдающийся математик Лейбниц говорил: “Вычисление с помощью двоек…является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательное применение двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.

Преимущества двоичной системы:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. Две цифры легко представлены физическими явлениями: есть ток – нет тока; индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет т.д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать
• Двоичная арифметика является довольно простой.
• Возможно применение аппарата логики для выполнения побитовых операций

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используется таблица степеней числа 2.

III – Шестидесятеричная система счисления

В современное время шестидесятеричная система счисления используется для измерения времени, углов.

В представлении времени используются три позиции: часы, минуты, секунды, так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только 10, то для каждой шестидесятеричной позиции используются две десятичные цифры (00, 01, …), позиции разделяются двоеточием. h:m:s.

Рассмотрим действия в шестидесятеричной системе счисления на двух задачах:

1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут. Сколько секунд потребуется?
2. Нужно испечь 10 пирогов. Сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицы сложения и умножения шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60*60, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу нам будет ещё гораздо сложнее. Как же быть? Можно решать эти задачи в десятичной системе счисления, а потом результат перевести в шестидесятеричную.

45 минут=0*3600+45*60+0= 2700 секунд

2700*10=27000 секунд потребуется для выпечки 10 пирогов.

27000/60=450 (остаток 0)

450/60=7 (остаток 30)

7/60=0 (остаток 7) Получилось 07:30:00

IV – Десятичная система счисления

Представление чисел с помощью арабских цифр – самая распространённая позиционная система счисления, она называется “десятичной системой счисления”. Десятичной она называется потому, что использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Десятичная система счисления – наиболее известное достижение индийской математики (595год). Система с основанием 10 проникла по караванным путям из Индии во многие области Ближнего Востока. Постепенно эту систему всё шире стали применять в арабском мире, хотя одновременно в ходу оставались и другие системы. “Книга абака” Леонардо Пизанского (1202 год) была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Эта книга была грандиозным по тем временам трудом, в печатном виде она насчитывала 460 страниц. Её автор известен ещё и под именем Фибоначчи. Его книга представляла математическую энциклопедию своего времени. Десятичная система получила распространение и признание в Европе только в эпоху Возрождения.

V – Другие системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления – используются следующие знаки для записи чисел: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С,D, E, F.

Двоично-десятичная система счисления. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определённой комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой. Пример:

125 10 =000100100101 2-10 (3 тетрады)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

Пятеричная система счисления – Первые математики умели считать лишь по пальцам одной руки, а если предметов было больше, то говорили так: “пять +один” и т.д. Иногда за основу принимали число 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов 146 были десятичными, 106 – пятеричными и десятичными. В более характерной форме система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе.

VI – Перевод из одной системы в другую

Связаны ли системы счисления между собой? Возможно, ли перевести число из одной системы в другую? Существует два основных правила перевода из одной системы в другую:

Перевод из любой другой в десятичную систему осуществляется по формулам:

11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10

221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10

31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10

25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10

Перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием осуществляется по алгоритму:

25 10 перевести в число в двоичной системе

25/2=12 (остаток 1)

12/2=6 (остаток 0)

6/2=3 (остаток 0)

3/2=1 (остаток 1)

1/2=0 (остаток 1) Получили число 11001 2

25 10 перевести в число в троичной системе

25/3=8 (остаток 1)

8/3=2 (остаток 2)

2/3=0 (остаток 2) Получили 221 3

25 10 перевести в число в восьмеричной системе

25/8=3 (остаток 1)

3/8=0 (остаток 3) Получили 31 8

После представления результатов работы творческих групп были оценены все системы счисления по указанным в начале критериям и все пришли к выводу, что в результате исторического развития математики самая удобная система (десятичная) стала самой распространённой. При этом были горячие сторонники двоичной системы, считавшие, что она очень важна для электроники.

Закончен урок был синквейном.

Система счисления – удобная, быстрая, помогает, считает, записывает

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове” (И. Песталоцци)

Источники информации

1. Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики” (“Наука”, Москва, 1990 г.).
2. Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова “За страницами учебника математики” (“Просвещение”, Москва, 2008).
3. А.В. Дорофеева “Страницы истории на уроках математики” (“Просвещение”, Москва, 2007).
4. Интернет – ресурсы “Википедия”.

Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".

Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Получить запись

Выполнено переводов: 1455723

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка : 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ: 273 10 = 421 8

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение: 0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ: 0.125 10 = 0.001 2

Представление чисел и команд в ЭВМ (INFlesson5.doc).

Мысль выражать числа десятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Апполония, от которых эта мысль осталась скрытой.

Пьер Симон Лаплас

Изучая способы представления числовой информации необходимо знакомиться с правилами перевода одного представления числа в другое, пытаться понять, почему одно и то же число в различных ситуациях необходимо представлять по-разному. Приёмами представления чисел занимается специальный раздел теории чисел «Системы счисления».

Введено еще одно важное понятие – система счисления. Зачем она нужна? Что это вообще такое? Системы счисления – это системы, созданные человеком. Называют такие системы искусственными в отличие отестественных систем, созданных природой. К естественным (природным) системам относятся галактики, наша Солнечная система, человек как единое целое и так далее. К искусственным системам относятся города, заводы, система образования, национальные языки, то есть всё, что сделано людьми.

Искусственные системы можно разделить на

материальные: автомобили, самолёты, дома, города, плотины и т.д.;

общественные , то есть разные объединения людей: парламент, система народного образования, шахматный клуб и т.д.;

информационные: национальные языки, компьютерная сеть Интернет, системы счисления и т.д.

Каждая искусственная система создаётся с определённой целью. Можно утверждать, что лучше та искусственная система, которая наилучшим образом обеспечивает достижение цели её создания.

Целью создания системы счисления является выработка наиболее удобного способа записи чисел. Система счисления позволяет отображать в компактной форме количественные сведения об объектах и манипулировать ими, используя достаточно простые правила.

Первые девять натуральных чисел мы обозначаем специальными знаками:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Поступать таким же образом со всеми встречающимися на практике числами, т.е. обозначать специальными знаками все встречающиеся числа, было бы неудобно. Даже если бы наши потребности ограничивались счётом в пределах тысячи, надо было бы запомнить тысячу специальных знаков. Естественно, что уже давно люди стали выбирать тот или иной ряд "ключевых", основных чисел и только их обозначать специальными знаками.

Системы счисления – это гениальное изобретение человечества. Для того чтобы сообщить о том, что сегодня две тысячи седьмой год на естественном языке, я вынужден использовать 16 символов (без учёта пробелов). С помощью языка чисел, можно то же самое изобразить четырьмя символами. Получается, что цифры представляют собой коды соответствующих слов, что подтверждается и тем, что номер года, записанный словами и числом, читается нами одинаково. Числа на разных естественных языках произносятся различным образом, а их запись и правила выполнения арифметических операций над ними одинаковы.

Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. Но если в математике наибольшее внимание уделяется методам обработки чисел, то для информатики нельзя обойти стороной методы представления чисел, так как именно они определяют необходимые ресурсы памяти, скорость и погрешность вычислений.

1. Система счисления – это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

1.1 Непозиционные системы счисления.

Непозиционными системами счисления пользовались древние египтяне,

греки, римляне и некоторые другие народы древности. В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он (знак) обозначает.

До нас дошла римская система записи чисел (римские цифры), которая в некоторых случаях применяется до сих пор в нумерации (века, тома, главы книги). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

1 5 10 50 100 500 1000

Например, число ССXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.

MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны при умножении и делении.

1.2 Позиционные системы счисления (ПСС).

Позиционные системы счисления удобны тем, что позволяют записывать сколь угодно большие числа с помощью небольшого количества цифр. Немаловажным преимуществом позиционных систем счисления являются достаточно простые алгоритмы выполнения арифметических операций над числами.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции.

Количество используемых цифр называется основанием ПСС.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Многие из нас эти значки, известные с детства, связывают с понятием "цифра". Тем не менее, в качестве цифр мы можем использовать любые значки. Да и цифр не обязательно должно быть десять.

Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии, в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название "арабские цифры".

Позиционный тип десятичной системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая цифра означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

Это позволяет осуществить перевод чисел с основанием не равным 10 к десятичному представлению.

Для осуществления такого перевода необходимо записать исходное число в виде суммы произведений цифр числа на соответствующие степени основания и вычислить значение полученного числового выражения по правилам десятичной арифметики.

1. 432,32 5 → A 10 .

432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =

2. DF,4A 16 → A 10

DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +

Число «десять» - не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу: "Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой".

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n (n – обозначение основания ПСС) нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n ≤ 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.

Приведем примеры алфавитов нескольких систем:

Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.

1011001 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

1.3 Перевод десятичных чисел в ПСС с основанием, не равным 10.

1.3.1 Перевод целых чисел.

Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе

счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

1.3.2 Перевод дробных чисел.

Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия выполнять в десятичной системе счисления;

Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

Полученные целые части произведений, являющихся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Примеры перевода конкретных десятичных чисел представлены в приложении 1.

Приложение 1.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами ), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной , если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления . Если количество таких цифр равно P , то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P . Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

Кодирование чисел

Чтобы использовать числа, нужно их как-то называть и записывать, нужна система нумерации. Различные системы счёта и записи чисел тысячелетиями сосуществовали и соревновались между собой, но к концу "докомпьютерной эпохи" особую роль при счёте стало играть число "десять", а самой популярной системой кодирования оказалась позиционная десятичная система. В этой системе значение цифры в числе зависит от её места (позиции) внутри числа. Десятичная система счисления пришла из Индии (не позднее VI века нашей эры). Алфавит этой системы: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - всего 10 цифр, таким образом основание системы счисления - 10. Число записывается как комбинация единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Пример: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .

В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Заметим, что выбор числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется традицией, а не какими-то замечательными свойствами числа 10. Вообще, представление числа N в р-ричной системе счисления, это:

N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , где а ¹ 0, а i Î {0, 1, 2, ..., а i }.

В Вавилоне, например, использовалась 60-ричная система счисления, алфавит содержал цифры от 1 до 59, числа 0 не было, таблицы умножения были очень громоздкими, поэтому очень скоро она была забыта, но отголоски её былой распространённости можно наблюдать и сейчас - деление часа на 60 минут, деление круга на 360 градусов.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII - XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц говорил: "Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок". Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 - 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:

Пример 2.1.1. Переведём число 2000 в двоичную систему.

1. Делим 2000 на основание новой системы счисления - 2:

2000:2=1000(0 - остаток),

2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу:

2000 10 ==11111010000 2

Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:

1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:

2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):

0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 +l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека - слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная.

Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число - 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод - числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (7 10 =1*2 0 +1*2 1 +1*2 2), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 - в любой системе счисления 0. Запишем теперь результат:

11111010000 2 = 7D0 16 .

ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ И ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Хотя десятичная система счисления является наиболее широко применимой, это отнюдь не означает, что она самая лучшая. Широкое распространение во многом объясняется тем анатомическим обстоятельством, что у нас на руках и ногах по десять пальцев. Что же касается позиционного принципа и цифровых обозначений, то они с равным успехом могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, независимо от того, равно ли оно 2, 10 или какому-нибудь другому целому положительному числу, кроме единицы. Например, подставив в полиномиальное представление 7x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x –2 вместо x значение 10, мы получим число 765,43 в нашей обычной десятичной системе. Но без малейшего ущерба для позиционного принципа обозначения целых чисел и дробей вместо x можно подставить и любое другое целое положительное число. Вместо числа 10 в качестве основания системы счисления чаще других предлагалось использовать числа 8 и 12. Системы, получающиеся при таких заменах, известны под названием восьмеричной и двенадцатеричной. В восьмеричной системе вместо переменной x в полиномиальном представлении следует подставить 8, и тогда число, равное в десятичной системе 765,43, в восьмеричной системе окажется равным (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 –1) + 3(8 –2), т.е. числу. В двенадцатеричной системе то же самое полиномиальное представление при x = 12 дает (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 –1) + 3(12 –2), или в наших обычных обозначениях. Что касается вычислений, то они во всех трех системах счисления, десятичной, восьмеричной и двенадцатиричной, производятся практически одинаково и с одной и той же легкостью. Различие в основном заключается в таблицах сложения и умножения, поскольку они изменяются от одной системы счисления к другой. Например, сумма семь плюс семь равна сумме восемь плюс шесть в восьмеричной системе, десять плюс четыре – в десятичной и двенадцать плюс два – в двенадцатиричной. Символически эти суммы и произведения можно записать следующим образом:

Мы видим, что переход от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной действительно требует полного пересмотра таблиц сложения и умножения; это объясняет, почему предложения о переходе к этим системам счисления не получили широкого признания. Преимущества, которые сулит этот переход, сводятся на нет сопряженными с ним трудностями. Главные преимущества восьмеричной и двенадцатиричной систем счисления связаны с делимостью их оснований. Рассматривая только целые числа, меньшие половины основания (поскольку ни одно число не может быть делителем основания, если это число больше половины основания, но меньше его), нетрудно понять, что число 10 имеет два неделителя – числа 3 и 4, тогда как в восьмеричной системе единственный неделитель, меньший половины основания, есть число 3, а в двенадцатиричной системе единственный неделитель основания равен числу 5. Иначе говоря, преимущество числа 12 как основания системы счисления заключается в том, что оно имеет делителями числа 2, 3, 4 и 6, тогда как число 10 имеет делителями числа 2 и 5. Число 8 имеет делителями только числа 2 и 4, однако его основное преимущество перед другими в том, что непрерывное деление пополам неизменно приводит к «одноместному» дробному представлению в полиномиальной форме. Например, если 8 разделить на 2 10 , то результат окажется в точности равным (0,004) 8 , тогда как если 12 разделить на 2 10 , то получится (приближенно) (0,0183) 12 , а при делении на 2 10 числа 10 результат (также приближенный) будет равным (0,0097656) 10 .